Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
dùng bđt phụ \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\) với bđt Cô-si nhé
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
- Áp dụng BĐT cauchuy ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}\\y+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{y}{z}}\\z+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{z}{x}}\end{matrix}\right.\)
- Nhân 3 vế trên lại ta được :
\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{x}\right)\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}.2\sqrt{\frac{y}{z}}.2\sqrt{\frac{z}{x}}\)
Mà \(2\sqrt{\frac{x}{y}}.2\sqrt{\frac{y}{z}}.2\sqrt{\frac{z}{x}}=8\sqrt{\frac{x.y.z}{y.z.x}}=8.1=8\)
=> \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{x}\right)\ge8\) ( đpcm )
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
bài này dễ mà
bạn bỏ ngoặc ra nó ntn này
(x+1/x)^2+(y+1/y)^2=x^2+2+1/x^2+y^2+2+1/y^2=x^2+1/x^2+y^2+1/y^2+4(bạn chứng minh x^2+1/x^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 2 như sau x^2+1/x^2-2=x^4+1-2x^2/x^2=(x^2+1)^2/X^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vậy x^2+1/x^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 2 chứng minh tương tự với y^2+1/y^2 nha bạn) vậy suy ra ĐPCM
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)
CMTT \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge4\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge4\left(dpcm\right)\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
bđt AM-GM là j ?