Question

[HOANG THI QUE ANH]

Cho x,y la hai so thoa man:ax+cy=c,bx+cy=a,cx+ay=b.Chung minh rang:a³+b³+c³=3abc

Answer 1

[bỏ mặc tất cả]

gọi (x, y) là nghiệm của hệ, ta có: 
{ ax+by = c 
{ bx+cy = a 
{ cx+ay = b 
cộng 3 ptrình lại vế theo vế: (a+b+c)(x+y) = a+b+c 
* a+b+c = 0 
* nếu a+b+c # 0, từ trên ta có: x+y = 1 <=> y = 1-x ; thay vào 2 ptrình của hệ: 
{ (a-b)x = c-b 
{ (b-c)x = a-c 
+ nếu a = b, từ ptrình đầu => c-b = 0 => b=c 
+ nếu b=c , từ ptrình sau => a-c = 0 => a= c 
tóm lại nếu có 2 trong 3 số bằng nhau => a = b = c 
+ xét a # b ; b # c từ hệ trên ta có: x = (c-b)/(a-b) = (a-c)/(b-c) 
=> (c-b)(b-c) = (a-b)(a-c) <=> -b²-c²+2bc = a²-ab-ac+bc <=> a²+b²+c² = ab+bc+ca 
<=> 2a²+2b²+2c² - 2ab-2bc-2ca = 0 
<=> (a-b)² + (b-c)² + (c-a)² = 0 <=> a = b = c 

Tóm lại hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: a+b+c = 0 hoặc a = b = c 
ta có hằng đẳng thức: 
a³+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² - ab-bc-ca) (*) 
từ điều kiện trên => a³+b³+c³ - 3abc = 0 => đpcm 
~~~~~~~~~~~~~~~ 
(*) có thể chứng minh tường minh như sau: 
a³+b³+c³ - 3abc = (a+b)³ - 3ab(a+b) + c³ - 3abc = (a+b)³+c³ -3ab(a+b+c) = 
= (a+b+c)[(a+b)² - (a+b)c + c²] - 3ab(a+b+c)² 
= (a+b+c)(a²+b²+2b - ac - bc + c² - 3ab) 
= (a+b+c)(a²+b²+c² - ab-bc-ca) 
~~~~~~~~~~~~~~~

Answer 2

[Nguyễn Hồng Hà]

Cảm ơn bạn KS nhé. Mik ngồi lm bài này mãi ko có ra