Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: \(x;y\ge1\)
\(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}+x\sqrt{x}-y\sqrt{y}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{y}+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+\sqrt{y}+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}=0\) (ngoặc to phía sau luôn dương)
\(\Rightarrow x=y\)
\(\Rightarrow S=x^2+3x^2-2x^2-4x+5\)
\(S=2x^2-4x+5=2\left(x-1\right)^2+3\ge3\)
Lời giải:
Ta có:
\(x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)\)
\(=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\)
Suy ra : \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}\)
Thực hiện tương tự với các biểu thức còn lại ta có:
\(M\geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}+\frac{\sqrt{3}(y+z)}{2}+\frac{\sqrt{3}(z+x)}{2}=\sqrt{3}(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow M\geq \sqrt{3}\Leftrightarrow M_{\min}=\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Ta có: \(0\le x,y,z\le2\) và \(x+y+z=5\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=2\\z=1\end{matrix}\right.\)$;$\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=z=2\end{matrix}\right.;\left[{}\begin{matrix}x=z=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\) có $GTNN$ của $A$ là \(\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{1}=2\sqrt{2}+1\)
\(P^2=\left(x-y\sqrt{5}\right)^2\le\left(1+5\right)\left(x^2+y^2\right)=36\)
\(\Rightarrow-6\le P\le6\)
\(P_{min}=-6\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(P_{max}=6\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}\)(ĐK:\(x;y\ge1\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+x\sqrt{x}=\sqrt{y-1}+y\sqrt{y}\)
Xét x<y\(\Rightarrow\sqrt{x-1}< \sqrt{y-1};x\sqrt{x}< y\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow VT< VP\)
TT xét x>y=>VT>VP
\(\Rightarrow x=y\)
\(\Rightarrow S=x^2+3x^2-2x^2-8x+5\)
\(S=2x^2-8x+5=2\left(x-2\right)^2-3\ge-3\)
"="<=>x=y=2(tm)