K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 5 2018

Áp dụng Bunyakovsky, ta có :

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)

=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)

=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Mấy cái kia tương tự 

19 tháng 7 2017

Ta có: A=x3+y3+xy = (x+y)(x2-xy+y2)+xy

=> A=(x+y)(x2+2xy+y2-3xy)+xy

<=> A=(x+y)[(x+y)2-3xy]+xy=1.(12-3xy)+xy

=> A=1-2xy

Lại có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)=> \(xy\le\frac{1}{4}\)

=> A=1-2xy\(\ge1-\frac{2.1}{4}\)

=> \(A\ge\frac{1}{2}\)

=> GTNN của A là 1/2

19 tháng 7 2017

\(A=x^3+y^3+y^3+xy=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy=x^2-xy+y^2+xy=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow A=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy AMin = \(\frac{1}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

23 tháng 12 2016

\(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\end{cases}\Rightarrow A=1-xy}\)

\(x+y=1\Rightarrow\left(x+y\right)^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2=1-4xy\)

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

GTNN A=1-1/4=3/4 khi xy=1/4 

23 tháng 12 2016

cảm ơn nhé

15 tháng 4 2021

\(A=x^2+y^2\) hả bạn?

14 tháng 7 2016

((X+1)^2)^2 bé hơn hoặc bằng 0

Suy ra x+1=0,Nên x=-1

7 tháng 3 2021

Theo bài ra, ta có: \(x^2-y=y^2-x\Leftrightarrow x^2-y^2=-x+y\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=-\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)=-1\)

Ta lại có: \(A=x^2+2xy+y^2-3x-3y=\left(x+y\right)^2-3\left(x+y\right)\)

Thay x+y=-1 vào biểu thức A, ta được: \(A=\left(-1\right)^2-3.\left(-1\right)=1+3=4\)

Vậy A=4

7 tháng 3 2021

tks nguoi ae

15 tháng 10 2020

a) Áp dụng bđt AM-GM: \(+\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2zx\end{cases}}\)\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xay ra khi \(x=y=z\)

b) Bổ đề; \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Áp dụng : \(A=x^2+y^2+z^2\ge\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

c) Bổ đề: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Áp dụng: \(B\le\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

d) \(A+B=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(=\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

15 tháng 10 2020

Bài này tuy dễ nhưng hơi loằng ngoằng giữa các câu :))

a. Cách phổ thông : x2 + y2 + z2\(\ge\)xy + yz + zx

<=> 2 ( x2 + y2 + z2 )\(\ge\)2 ( xy + yz + zx )

<=> ( x2 - 2xy + y2 ) + ( y2 - 2yz + z2 ) + ( z2 - 2zx + x2 )\(\ge\)0

<=> ( x - y )2 + ( y - z )2 + ( z - x )2\(\ge\)0 ( * )

Vì ( x - y )2 \(\ge\)0 ; ( y - z )2 \(\ge\)0 ; ( z - x )2\(\ge\)0\(\forall\)x ; y ; z

=> ( * ) đúng 

=> A\(\ge\)B ; dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

b. Xài Cauchy cho mới

( x2 + y2 + z2 ) ( 12 + 12 + 12 )\(\ge\)( x + y + z )2 = 32 = 9

<=> 3 ( x2 + y2 + z2 )\(\ge\)

<=> x2 + y2 + z2\(\ge\)3

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

Vậy minA = 3 <=> x = y = z = 1

c. Theo câu a và câu b ta có : 3 ( xy + yz + zx )\(\le\)( x + y + z )2 = 32 = 9

<=> xy + yz + zx\(\le\)3

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1

Vậy maxB = 3 <=> x = y = 1

d. x + y + z = 3 . BP 2 vế ta được

x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + zx ) = 9

Hay A + 2B = 9 . Mà B\(\le\)3 ( câu b )

=> A + B \(\ge\)6

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

Vậy min A + B = 6 <=> x = y = z = 1