Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=x^2-x\sqrt{y}+x+y-\sqrt{y}+1\)
\(\Leftrightarrow2P=2x^2-2x\sqrt{y}+2x+2y-2\sqrt{y}+2\)
\(=\left[\left(x^2-2x\sqrt{y}+y\right)+\frac{4}{3}.\left(x-\sqrt{y}\right)+\frac{4}{9}\right]+\left(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)+\left(y-\frac{2}{3}.\sqrt{y}+\frac{1}{9}\right)+\frac{4}{3}\)
\(=\left(x-\sqrt{y}+\frac{2}{3}\right)^2+\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{4}{3}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}\)
a. ĐKXĐ: \(x>0\)
\(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1+x}{x+\sqrt{x}}.\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
b. Để \(P=-1\) thÌ \(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=-1\)
\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x}+1=-\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{x}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=-1\) ( vô lý )
Vậy không có x thỏa mãn ycbt
c. Ta có \(x=\dfrac{8}{\sqrt{5}-1}-\dfrac{8}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{8\sqrt{5}+8-8\sqrt{5}+8}{5-1}=\dfrac{16}{4}=4\)
Thay x=4 vào P, ta được
\(P=\dfrac{4+\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}}=\dfrac{4+2+1}{2}=\dfrac{7}{2}\)
d. \(P=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\) \(\Rightarrow P-3=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-3\)
\(\Rightarrow P-3=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}}\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\\\sqrt{x}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P-3\ge0\Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\Leftrightarrow\sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\)
Vậy \(P_{min}=3\) khi \(x=1\)
a) \(a+b=2\)
=> \(b=2-a\)
\(A=a^2+\left(2-a\right)^2=2a^2-4a+4=\left(\sqrt{2}a-\sqrt{2}\right)^2+2\ge2\)
Vậy \(A_{min}=2\)
b) \(x+2y=8\)
=> \(x=8-2y\)
\(B=y\left(8-2y\right)=8y-2y^2=8-\left(\sqrt{2}y-2\sqrt{2}\right)^2\le8\)
Vậy \(B_{max}=8\)
a) \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
Dấu \(=\)khi \(a=b=1\).
b) \(\left(x-2y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+4y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+4xy+4y^2\ge8xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+2y\right)^2}{8}=\frac{8^2}{8}=8\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}}\).
Áp dụng bđt Holder ta được:
\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)=3.3.\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3=1\Rightarrow A\ge\frac{1}{9}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
c/m bất đẳng thức Holder:
Cho a,b,c,x,y,z,m,n,p là các số thực dương. Khi đó ta có:
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\ge\left(axm+byn+czp\right)^3\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) ta có:
\(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}\ge\frac{3axm}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\)
Tương tự:
\(\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3}\ge\frac{3byn}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\)
\(\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3}\ge\frac{3czp}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\)
\(\Rightarrow3\ge\frac{3axm+3byn+3czp}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)}\ge axm+byn+czp\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\ge\left(axm+byn+czp\right)^3\)
Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau
Lớn nhất chứ nhỏ nhất làm gì có
Ta có x = 8 - 2y
=> B = (8 - 2y)y = - 2y2 + 8y = - (2y - \(2×\sqrt{2}×2×\sqrt{2}y\) + 8) + 8
= - ( \(\sqrt{2}y-2\sqrt{2}\))2 + 8 \(\le8\)
Vậy GTLN là 8 khi x = 4; y = 2
bn ơi, còn câu này nữa
cho a+b=2. tìm GTNN của A =\(a^2+b^2\)