Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Từ đề bài \(\Rightarrow4x^2+4y^2+4xy-24x-24y+44=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2-24x-12y+36+3y^2-12y+12-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y-6\right)^2+3\left(y-2\right)^2-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+y-6\right)^2=4-3\left(y-2\right)^2\le4\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow-2\le2x+y-6\le2\Rightarrow4\le2x+y\le8\)
Do đó \(4\le P\le8\)
Lời giải:
Không mất tính tổng quát. Giả sử \(x\geq y\Rightarrow 2x\geq 2017\Rightarrow x\geq 1009\) (do \(x\) nguyên dương)
Thực hiện biến đổi P
\(P=x(x^2+y)+y(y^2+x)=(x^3+y^3)+2xy\)
\(\Leftrightarrow P=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy\)
\(\Leftrightarrow P=2017(x^2-xy+y^2)+2xy=2017(x+y)^2-6049xy\)
\(\Leftrightarrow P=2017^3-6049xy=2017^3-6049x(2017-x)\)
\(\Leftrightarrow P=6049x^2-6049.2017xy+2017^3\)
Tìm max:
Tiếp tục biến đổi :\(P=6049(x-1)(x-2016)+2017^3-2016.6049\)
Vì \(x\) nguyên dương \(\Rightarrow x\geq 1\)
\(y\geq 1\Rightarrow x=2017-y\leq 2016\)
Do đó \((x-1)(x-2016)\leq 0\Rightarrow P\leq 2017^3-2016.6049\)
Vậy \((Max) P=2017^3-2016.6049\Leftrightarrow (x,y)=(2016,1)\) và hoán vị
Tìm min:
Biến đổi \(P=6049(x-1008)(x-1009)+2017^3-1008.1009.6049\)
Vì \(x\geq 1009\Rightarrow (x-1008)(x-1009)\geq 0\), do đó \(P\geq 2017^3-1008.1009.6049\)
Vậy \((Min)P=2017^3-6049.1008.1009\Leftrightarrow (x,y)=(1009,1008)\) và hoán vị.
Ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)=1+xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{1+xy}{2}\)
\(P=7\left(x^4+y^4\right)+4x^2y^2\)
\(=7x^4+7y^4+4x^2y^2\)
\(\Rightarrow P=28x^3+28y^3+16xy\)
\(\Leftrightarrow P=0\Leftrightarrow28x^3+28y^3+16xy=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P_{Min}=15\) và \(Max_P=\frac{12}{33}\)
Ta có : \(\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+y^2+10=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+1+5\left(x+y+1\right)+y^2+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)^2+5\left(x+y+1\right)+y^2+4=0\)
Đặt t = x+y+1
Suy ra \(t^2+5t+y^2+4=0\)
Xét \(\Delta=25-4\left(4+y^2\right)=9-4y^2\) . Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Rightarrow y^2\le\frac{9}{4}\)
Giả sử pt có hai nghiệm : t1 < t2 . Do đó GTNN của A xảy ra tại t1
Khi đó : \(t_1=\frac{-5-\sqrt{9-4y^2}}{2}\ge\frac{-5-\sqrt{9}}{2}=-4\)
Suy ra \(A\ge-4\) . Vậy Min A = -4 <=> y = 0 => x = -5
pt \(\Leftrightarrow\)\(x^4+2x^2y^2+y^4=2y^2-x^2+3\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1=-3x^2+4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2+y^2-1\right)^2=-3x^2+4\le4\)
\(\Rightarrow\)\(-1\le x^2+y^2\le3\)
\(4\le\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\ge4\)
\(\Rightarrow2\le\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\Rightarrow x+y\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Dạ có thể diễn đạt theo cách dễ hiểu cho đứa ngu lâu dốt bền như em được không ạ ? ._.
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+10=-y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+10\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(x+y+5\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow-5\le x+y\le-2\)
\(\Leftrightarrow-4\le x+y+1\le-1\)
\(A_{max}=-1\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=0\end{matrix}\right.\)
\(A_{min}=-4\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=0\end{matrix}\right.\)