TT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
OH
1
ND
3 tháng 6 2019
P=1/(x+y)(x^2-xy+y^2)+1/xy
P=1/(x^2-xy+y^2)+1/xy ( vĩ+y=1)
P=1/(x^2-xy+y^2)+3/xy
Đến đây áp dụng bất đẳng thức Svac có
P>=(√3+1)^2/(x+y)^2
P>=(√3+1)^2 (vì x+y=1)
hay P>=4+2√3(đpcm)
17 tháng 7 2019
Bài 1:
Theo BĐT AM-GM có :$(x+y+1)(x^2+y^2)+\dfrac{4}{x+y}\geq (x+y+1).2xy+\dfrac{4}{x+y}=2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}=(x+y)+(x+y)+\dfrac{4}{x+y}+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{(x+y).\dfrac{4}{x+y}}+2=2+4+2=8$(đpcm)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y, xy=1\) và \(x+y=2\) hay \(x=y=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(x^2+y^2\geq 2xy=2\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}(1)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
\(2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}=(x+y+2)+[(x+y)+\frac{4}{x+y}]\)
\(\geq (2\sqrt{xy}+2)+2\sqrt{(x+y).\frac{4}{x+y}}=(2+2)+4=8(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
\(P=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-3xy\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=4+2\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\\y=\frac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\end{matrix}\right.\) và hoán vị
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
Cụ thể hơn:
\(\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\)
\(=\frac{1^2}{1-3xy}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(\frac{1-3xy}{1}=\frac{3xy}{\sqrt{3}}\Rightarrow1-3xy=\sqrt{3}xy\)
LD
4 tháng 5 2019
1.
Đầu tiên ta cm: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\) (cô si)
Dấu "=" khi a = b.
Áp dụng:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\) \(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}\cdot4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(=4+2+5=11\)
Vậy MinA = 11 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
LD
4 tháng 5 2019
\(P=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow x^2+1=P\left(x^2-x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+1-Px^2+Px-P=0\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(1-P\right)x^2+Px+\left(1-P\right)=0\)
\(\Delta=P^2-4\left(1-P\right)^2\)
\(=P^2-4\left(1-2P+P^2\right)=-3P^2+8P-4\)
Để P có GTNN và GTLN thì phương trình (*) có nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow-3P^2+8P-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3P^2+2P+6P-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-P\left(3P-2\right)+2\left(3P-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3P-2\right)\left(2-P\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\le P\le2\)
Vậy \(min_P=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1\); \(max_P=2\Leftrightarrow x=1\)
KN
1
17 tháng 10 2023
\(VT\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\) (vì \(x+y\le1\) )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Ta có đpcm
6 tháng 4 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta có :
\(VT=\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}=\frac{1}{x^2+xy}+4\left(x^2+xy\right)+\frac{1}{y^2+xy}+4\left(y^2+xy\right)-4\left(x+y\right)^2\)
\(VT\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2+xy}.4\left(x^2+xy\right)}+2\sqrt{\frac{1}{y^2+xy}+4\left(y^2+xy\right)}-4=4\)
=> đpcm
20 tháng 7 2019
\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)
Dấu "=" <=> x= y = 1/2
20 tháng 7 2019
\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" <=> x = 3y
23 tháng 8 2017
Tìm x :
a) ( x - 15 ) . 35 = 0
x - 15 = 0 : 35
x - 15 = 0
x = 0 + 15
x = 15
b) 32 ( x - 10 ) = 32
x - 10 = 32 : 32
x - 10 = 1
x = 1 + 10
x = 11
23 tháng 8 2017
\(\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}\ge5\)
NP
2
TN
14 tháng 10 2016
\(P=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}\)
Ta có:
\(x+y=1\Rightarrow\left(x+y\right)^3=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy=1\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^3+y^3+3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy}{xy}\)\(=4+\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\left(1\right)\)
Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3xy}{x^3+y^3}\cdot\frac{x^3+y^3}{xy}}=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P\ge4+2\sqrt{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x^3+y^3=\sqrt{3xy}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\1-3xy=\sqrt{3xy}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\3\sqrt{xy}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{6-2\sqrt{5}}{12}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+\frac{6-2\sqrt{5}}{12}=0\)\(\Leftrightarrow x,y=\frac{1\pm\sqrt{\frac{2\sqrt{5}-3}{3}}}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) được
\(VT\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2
Vậy ...........
Cũng ko hẳn là cách khác nhưng xem cho vui v :)
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}=\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{2}\)