Question

[Khánh Anh]

cho x và y là 2 số thực thỏa mãn x^2 +y^2 = 1. tìm GT bé nhất của P= x^6+ y^6

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

Bài này căng đây :))

\(P=x^6+y^6=\left(x^2\right)^3+\left(y^2\right)^3=\left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)=x^4-x^2y^2+y^4\)

\(=\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)-3x^2y^2=\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2=1-3x^2y^2\)

Ta có :\(3x^2y^2\ge0\forall x;y\)\(\Rightarrow1-3x^2y^2\le1\forall x;y\)có GTNN là 1

Dấu "=" xảy ra khi\(\hept{\begin{cases}x^2y^2=0\\x^2+y^2=1\end{cases}\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;1\right);\left(1;0\right)\right\}}\)

Vậy GTNN của P là 1 tại \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;1\right);\left(1;0\right)\right\}\)

Answer 2

[Pain Nhân Gian Đạo]

t éo biết làm đâu t chỉ chém bừa thôi nhé . đúng thì đúng mà sai thì đừng chửi t ngu t ms lp 7

\(x^6+y^6=\left(x^3\right)^2+\left(y^3\right)^2=\left(x^2+y^2\right).\left(x^4-x^2y^2+y^4\right).\) t cx éo thuộc hẳng đẳng thức đâu :p

mà x^2+y^2=1

\(\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)=\frac{1}{2}.2\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)\) cái chỗ này t chỉ nhân 2 với x^2y^2 thôi ko  nhân với x^4 cả y^4 nhé

\(\frac{1}{2}\left(x^2-y^2\right)^2\ge0\)        nợ 2 ở chỗ x^2 cả y^2 nhé  

suy ra  \(\left(x^2-y^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2\ge y^2\)

vậy giá trị nhỏ nhất của P là   \(y^2\) dấu = xảy ra khi x^2=y^2 mà dấu = xảy ra thì suy ra  \(x^2+y^2=1\Rightarrow x^2=y^2=\frac{1}{2}\)

kết luận Min của P là 1/2  chúa Pain ko bao giờ sai @@@@