Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
\(\left(AB+CD\right)^2+\left(AD+BC\right)^2>\left(AC+BD\right)^2\)
a: Gọi E là trung điểm của AB
ΔABC đều nên CE vuông góc AB
ΔABD đều nên DE vuông góc AB
=>AB vuông góc (CDE)
=>AB vuông góc CD
b: Xét ΔCAB có CN/CB=CM/CA
nên MN//AB và MN=1/2AB
Xét ΔDAB có DQ/DA=DP/DB
nên PQ//AB và PQ/AB=DQ/DA=1/2
=>MN//PQ và MN=PQ
=>MNPQ là hình bình hành
Xét ΔADC có AQ/AD=AM/AC
nên QM//DC
=>QM vuông góc AB
=>QM vuông góc QP
=>MNPQ là hình chữ nhật
Đặt \(AB=CD=c\), \(BC=DA=a\) , \(AC=b\) và \(BD=d\)
Do N là trung điểm cạnh BD nên theo công thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có :
\(AN^2=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{d^2}{4}\) và \(CN^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{d^2}{4}\)
Suy ra : \(NA^2-NC^2=0=MA^2-MC^2\)
Từ đó theo kết quả bài toán suy ra \(MN\perp AC\)
Lập luận tương tự ta cũng được \(MN\perp BD\)
Ta có:
suy ra MN // BC (1) (Định lý Ta-lét đảo).
- Lại có: MN ∩ (MNI) (2)
- Từ (1) và (2) suy ra: BC // (MNI)
Đặt \(\frac{AB}{CD}=k\)
Do AB // CD nên \(\frac{EA}{EC}=\frac{EB}{ED}=k\) và \(\frac{FA}{FD}=\frac{FB}{FC}=k\) (như hình vẽ)
Suy ra : \(\overrightarrow{EA}=-k\overrightarrow{EC}\), \(\overrightarrow{EB}=-k\overrightarrow{ED}\) , \(\overrightarrow{FA}=-k\overrightarrow{FD}\) và \(\overrightarrow{FB}=-k\overrightarrow{FC}\)
Do M là trung điểm AB và N là trung điểm CD nên :
\(2\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=-k\overrightarrow{EC}-k\overrightarrow{ED}=-2\left(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}\right)=-2k\overrightarrow{EN}\)
Suy ra \(\overrightarrow{EM}=k\overrightarrow{EN}\) (1)
Hoàn toàn tương tự cũng được \(\overrightarrow{FM}=k\overrightarrow{FN}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh
Từ \(2\overrightarrow{ỊJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\) suy ra
\(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4IJ^2\Leftrightarrow CB^2+DA^2=CA^2+DB^2+2AB^2.CD^2\)
\(\Leftrightarrow2.\overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD}=AD^2-AC^2+BC^2-BD^2\)