Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến, suy ra $H$ là trung điểm của $BC$
\(\Rightarrow CM=MH+CH=\frac{HB}{2}+HC=\frac{BC}{4}+\frac{BC}{2}=\frac{3}{4}BC=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
$M,N$ lần lượt là trung điểm của $BH,AB$ nên $MN$ là đường trung bình ứng với cạnh $AH$ của tam giác $AHB$
$\Rightarrow MN\parallel AH, MN=\frac{AH}{2}$
$\Rightarrow MN\perp BC, MN=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $CNM$ vuông tại $M$:
\(CN=\sqrt{MN^2+CM^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{27}{16}}=\frac{\sqrt{35}}{4}\)
Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm $A,K,M$ thẳng hàng:
\(\frac{KC}{KN}.\frac{MB}{MC}.\frac{AN}{AB}=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{KC}{KN}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}=1\Rightarrow \frac{KC}{KN}=6\Rightarrow \frac{KC}{CN}=\frac{6}{7}\)
\(\Rightarrow KC=\frac{6}{7}.CN=\frac{3\sqrt{35}}{14}\) (1)
Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm $N,K,C$ thẳng hàng:
\(\frac{AN}{BN}.\frac{KM}{KA}.\frac{CB}{CM}=1\Leftrightarrow 1.\frac{KM}{KA}.\frac{4}{3}=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{KM}{KA}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{KM}{AM}=\frac{3}{7}\)
\(\Rightarrow KM=\frac{3}{7}.AM=\frac{3}{7}.\sqrt{AH^2+MH^2}=\frac{3}{7}.\sqrt{AH^2+(\frac{BC}{4})^2}\)
\(=\frac{3}{7}.\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{4})^2}=\frac{3\sqrt{35}}{28}\) (2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow \frac{KM}{KC}=\frac{1}{2}=\frac{MH}{CH}\), suy ra $KH$ là phân giác góc $\widehat{CKM}$
1 phần thôi nhé
Nối BE, Gọi P là giao điểm của AD với BE.
Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABE => AH/HE=BP/PE=> HP//AB(1).
Từ (1)=> Tam giác AHP cân tại H=> AH=HP.(2)
Ta cần chứng minh AD//CE <=> DP//CE <=> BD/BC=BP/BE <=> BD/BC=1-(EP/BE).(3)
Mà EP/BE=HP/AB (do (1))=> EP/BE= AH/AB=HD/DB (do (2) và tc phân giác). (4)
Khi đó (3)<=> BD/BC=1-(HD/DB) hay (BD/BC)+(HD/DB)=1 <=> BD^2+HD*BC=BC*DB
<=> BD^2+HD*BC= (BD+DC)*BD <=> BD^2+HD*BC= BD^2+BD*DC <=> HD*BC=BD*DC
<=> HD/DB=CD/BC <=> AH/AB=CD/BC. (5)
Chú ý: Ta cm được: CA=CD (biến đổi góc).
Nên (5) <=> AH/AB=CA/BC <=> Tg AHB đồng dạng Tg CAB.( luôn đúng)
=> DpCm.
1: góc ABP=1/2*sđ cung AP=90 độ
=>BP//CH
góc ACP=1/2*sđ cung AP=90 độ
=>CP//BH
mà BP//CH
nên BHCP là hình bình hành
=>BC cắt HP tại trung điểm của mỗi đường
=>M là trung điểm của HP
2: Xét tứ giác ABDC có
M là trung điểm của BC
M là trung điểm của AD
Do đó: ABDC là hình bình hành
mà \(\widehat{CAB}=90^0\)
nên ABDC là hình chữ nhật
Suy ra: CD=AB(1)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC
nên \(AB^2=BH\cdot BC\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(CD^2=BH\cdot BC\)