Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b: \(\dfrac{AB\cdot BC}{2}\cdot sinB\)
\(=\dfrac{AB\cdot BC}{2}\cdot\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\)
\(=S_{ABC}\)
a: Xét ΔABD vuông tại A có tan ABD=AD/AB
Xét ΔCBA có BD là phân giác
nên AD/AB=CD/BC
=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{AD+CD}{AB+BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}\)
=>\(tan\left(ABD\right)=\dfrac{AC}{AB+BC}\)
Kẻ PD và BE vuông góc AC
Định lý phân giác: \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow\dfrac{AN}{AN+NC}=\dfrac{AB}{AB+BC}\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AB}{AB+BC}=\dfrac{c}{a+c}\)
Tương tự: \(\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{b}{a+b}\)
Talet: \(\dfrac{PD}{BE}=\dfrac{AP}{AB}\)
\(\dfrac{S_{APN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}PD.AN}{\dfrac{1}{2}BE.AC}=\dfrac{AP}{AB}.\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{S_{BPM}}{S_{ABC}}=\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\) ; \(\dfrac{S_{CMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{APN}+S_{BPM}+S_{CMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}-\left(S_{APN}+S_{BPM}+S_{CMN}\right)}{S_{ABC}}=1-\left(\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)\)
\(=\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
2. Do ABC cân tại C \(\Rightarrow AC=BC=a\)
\(\dfrac{BC}{AB}=k\Rightarrow AB=\dfrac{BC}{k}=\dfrac{a}{k}\)
Do đó:
\(\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2.a.a.\dfrac{a}{k}}{2a.\left(a+\dfrac{a}{k}\right)\left(a+\dfrac{a}{k}\right)}=\dfrac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{abc}{a^2+bc}\le\dfrac{abc}{2a\sqrt{bc}}=\dfrac{\sqrt{bc}}{2}\le\dfrac{b+c}{4}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(abc.VT\le\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}=1\Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{abc}=VP\)
Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
Lời giải:
a.
Vì $\widehat{BAH}=\widehat{CAM}$ nên $\widehat{BAM]=\widehat{CAH}$
Ta có:
\(\frac{HB}{HC}=\frac{S_{BAH}}{S_{CAH}}=\frac{BA.AH.\sin \widehat{BAH}}{CA.AH.\sin \widehat{CAH}}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin \widehat{CAM}}{\sin \widehat{BAM}}(1)\)
\(1=\frac{BM}{CM}=\frac{S_{BAM}}{S_{CAM}}=\frac{AB.AM\sin \widehat{BAM}}{AC.AM.\sin \widehat{CAM}}=\frac{AB.\sin \widehat{BAM}}{AC\sin \widehat{CAM}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin \widehat{CAM}}{\sin \widehat{BAM}}=\frac{AB}{AC}(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{HB}{HC}=\frac{AB^2}{AC^2}$
b.
Đặt $AB=c; BC=a; CA=b$ thì theo phần a ta có:
$\frac{BH}{CH}=\frac{c^2}{b^2}\Rightarrow \frac{BH}{a}=\frac{c^2}{b^2+c^2}$
$\Rightarrow BH=\frac{ac^2}{b^2+c^2}$
$CH=\frac{ab^2}{b^2+c^2}$
Theo định lý Pitago:
$c^2-BH^2=b^2-CH^2$
$\Leftrightarrow c^2-\frac{a^2c^4}{(b^2+c^2)^2}=b^2-\frac{a^2b^4}{(b^2+c^2)^2}$
$\Leftrightarrow (b^2-c^2)=\frac{a^2(b^4-c^4)}{(b^2+c^2)^2}$
$\Leftrightarrow b^2-c^2=\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2+c^2}$
$\Leftrightarrow (b^2-c^2)(b^2+c^2)=a^2(b^2-c^2)$
$\Rightarrow b^2-c^2=0$ hoặc $b^2+c^2=a^2$
$\Leftrightarrow AB=AC$ hoặc tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Quéo quèo queo, sai đề rồi bạn ơi, bị lỗi kĩ thuật luôn: ((
a: \(BC\cdot CH=CA^2\)
\(AD\cdot AH=AC^2\)(ΔACD vuông tại C có CH là đường cao)
Do đó: \(BC\cdot CH=AD\cdot AH\)
Xét ΔBCA vuông tại A và ΔADC vuông tại C có
góc BCA=góc ADC
Do đó: ΔBCA đồng dạng với ΔADC
Suy ra: AB/AC=AC/DC
hay \(AC^2=AB\cdot DC=BC\cdot CH=AD\cdot AH\)
c: \(\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{BH^2}{AB}:BC=\dfrac{BH^2}{AB\cdot BC}=\left(\dfrac{AB^2}{BC}\right)^2\cdot\dfrac{1}{AB\cdot BC}\)
\(=\dfrac{AB^3}{BC^3}=\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^3=cos^3B\)
hay \(BE=cos^3B\cdot BC\)