Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có hình vẽ:
Kẻ \(ID\perp AB,IE\perp BC,IF\perp AC\)
Xét hai tam giác vuông IDB và IEB, ta có:
\(\widehat{IDB}=\widehat{IEB}=90^o\)
\(\widehat{DBI}=\widehat{EBI}\left(gt\right)\)
BI là cạnh huyền trung
\(\Rightarrow\Delta IDB=\Delta IEB\)(cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có:
\(\widehat{IEC}=\widehat{IFC}=90^o\)
\(\widehat{ECI}=\widehat{FCI}\left(gt\right)\)
CI là cạnh huyền trung
\(\Rightarrow\Delta IEC=\Delta IFC\: \)(cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2), suy ra: ID = IF
Xét tam giác vuông IDA và IFA, ta có:
\(\widehat{IDA}=\widehat{IFA}=90^o\)
ID = IF (chứng minh trên)
AI là cạnh huyền trung
Suy ra: \(\Delta IDA=\Delta IFA\)(cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: \(\widehat{DAI}=\widehat{FAI}\) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của I lên các cạnh BC,BA,CA
Xét \(\Delta\)BIN và \(\Delta\)BIM có
\(\widehat{IBN}=\widehat{IBM}\)(BI là phân giác)
BI chung
=> \(\Delta\)BIN = \(\Delta\)BIM (cạnh huyền-góc nhọn)
=> IM=IN
CM tương tự có: \(\Delta\)CIP=\(\Delta\)CIM => IM=IP
=> IM=IN=IP
Xét \(\Delta\)AIN và \(\Delta\)AIP vuông tại N và P có:
IA chung
IN=IM
=> \(\Delta\)AIN = \(\Delta\)AIP (cạnh huyền -cạnh góc vuông)
=> \(\widehat{IAN}=\widehat{IAP}\)=> IA là phân giác góc A (DPCM)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét tam giác ABC vuông tại A:
BI; IC là đường phân giác (gt).
BI cắt CI tại I (gt).
\(\Rightarrow\) AI là tia phân giác góc BAC.
Tam giác ABC có BI; CI là các đường phân giác giao nhau tại I
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp
=> AI là phân giác
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Kẻ phân giác IH của \(\widehat{BIC}\)
Ta có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}=120^0\)
Mà BI,CI là phân giác \(\widehat{ABC};\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=60^0\)
Xét tam giác IBC: \(\widehat{BIC}=180^0-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)=120^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BIH}=\widehat{CIH}=\dfrac{1}{2}\widehat{BIC}=60^0\)
Lại có \(\widehat{BIE}=\widehat{DIC}=180^0-\widehat{BIC}=60^0\) (kề bù)
Do đó \(\widehat{BIH}=\widehat{CIH}=\widehat{BIE}=\widehat{DIC}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BIH}=\widehat{BIE}\\BI\text{ chung}\\\widehat{IBE}=\widehat{IBH}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta BEI=\Delta BHI\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow EI=HI\left(1\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}\widehat{CIH}=\widehat{DIC}\\CI\text{ chung}\\\widehat{HIC}=\widehat{DIC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta CDI=\Delta CHI\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow DI=HI\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow IE=ID\)