Question

[Đỗ Trung Hiếu]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ HI vuông góc với AB tại I, HK vuông góc với AC tại K. CM:

           a, Tứ giác AKHI là hcn.

           b, Tam giác AIK đồng dạng với tam giác ACB. Rồi từ đó suy ra AI.AB=AK.AC

           c. góc ABK= góc ACI.

    Giúp mình với mình đang cần gấp.

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

a) Xét tứ giác \(AKHI\)có: \(\widehat{KAI}=\widehat{AKH}=\widehat{HIA}=90^o\)

nên tứ giác \(AKHI\)có ba góc vuông nên \(AKHI\)là hình chữ nhật. 

b) \(\Delta AKH=\Delta KAI\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\widehat{KIA}\)(hai góc tương ứng) 

mà \(\widehat{AHK}=\widehat{ACB}\)(vì cùng phụ với \(\widehat{HAC}\)) 

nên \(\widehat{KIA}=\widehat{ACB}\)

Xét tam giác \(AIK\)và tam giác \(ACB\)có: 

\(\widehat{IAK}=\widehat{CAB}\)(góc chung) 

\(\widehat{KIA}=\widehat{BCA}\)(cmt) 

\(\Rightarrow\Delta AIK~\Delta ACB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AI}{AC}=\frac{AK}{AB}\)(hai cặp cạnh tương ứng) 

\(\Rightarrow AI.AB=AK.AC\).

c) \(AI.AB=AK.AC\Leftrightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AK}{AI}\)

Xét tam giác \(ABK\)và tam giác \(ACI\):

\(\widehat{A}\)chung

\(\frac{AB}{AC}=\frac{AK}{AI}\)(cmt)

\(\Rightarrow\Delta ABK~\Delta ACI\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABK}=\widehat{ACI}\)(hai góc tương ứng)