Question

[Linh]

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB>AC).Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB, BC cắt đường tròn (O) tại H

a) Gọi K là trung điểm AC.Chứng minh KO vuông góc AH

b) Chứng minh KH là tiếp tuyến của (O)

c) Gọi d là điểm đối xứng của A qua H,vẽ DN vuông AB tại N.C/m 4 điểm D,H,N,B cùng thuộc 1 đường tròn.Xác định tâm J của đường tròn đó 

d) Vẽ HI vuông AB tại I.KB cắt (J) tại T.Chứng minh D,T,I thẳng hàng

(giúp mình làm câu d nhé !)

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

 KH cắt BD tại M

Ta có HI//AC//ND ( cùng \(\perp AB\)) \(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{H_2}\) (đồng vị) và \(\widehat{H_1}=\widehat{H_3}\)   (đối đỉnh)

K là trung điểm AC và \(\Delta AHC\) vuông tại H \(\Rightarrow\)KH = KC \(\Rightarrow\Delta KHC\) cân tại K

\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{H_3}=\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\Rightarrow\Delta BHI=\Delta BHM\left(ch-gn\right)\)(có \(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\)HB chung)

\(\Rightarrow\widehat{BIH}=\widehat{BMH}=90^0\Rightarrow HM\perp BD\)

\(\Rightarrow\)BH  = BM.MD (hệ thức lượng trong \(\Delta BHD\) vuông tại H)

 Mà \(\Delta BMK~\Delta BTD\left(g.g\right)\) ( có \(\widehat{BMK}=\widehat{BTD}=90^0\) và góc B chung) 

 \(\Rightarrow\)BM.BD = BT.BK = BH     

 Vì BH =BI.BA (hệ thức lượng trong \(\Delta BHA\) vuông tại H)

\(\Rightarrow\)BT.BK=BI.BA \(\Rightarrow\Delta TBI~\Delta ABK\left(c-g-c\right)\)(có góc B chung và \(\frac{BT}{BI}=\frac{BK}{BA}\))

\(\Rightarrow\widehat{BTI}=\widehat{BAK}=90^0\Rightarrow TI\perp BK\)tại T

\(\Rightarrow\Delta BDT\) nội tiếp (J) có cạnh BD là đường kính \(\Rightarrow\Delta BDT\)vuông tại T

\(\Rightarrow TD\perp BK\) tại T \(\Rightarrow\)Từ T có TI và TD cùng \(\perp\) BK suy ra 3 điểm D, T, I thẳng hàng.