Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét tứ giác ADEF có
\(\widehat{A}=90độ\left(gt\right)\)
\(\widehat{ADE}=90độ\)(do DE⊥AC)
\(\widehat{EFA}=90độ\)(do EF⊥AB)
Do đó: ADEF là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b)
Xét ΔCBA có
E là trung điểm của BC(gt)
EF//CA(do EF//AD,C∈DA)
Do đó: F là trung điểm của AB(định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác AEBF có
F là trung điểm của đường chéo AB(cmt)
F là trung điểm của đường chéo EK(do E và K đối xứng nhau qua F)
Do đó: AEBF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
mà EK⊥AB(do EF⊥AB,K∈EF)
nên AEBF là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
a) Xét tứ giác AEDF có
\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AC, F∈AB)
\(\widehat{DFA}=90^0\)(DF⊥AB)
\(\widehat{DEA}=90^0\)(DE⊥AC)
Do đó: AEDF là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒AD=EF(hai đường chéo trong hình chữ nhật AEDF)
b) Ta có: AE//DF(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEDF)
mà C∈AE
nên AC//DF
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC(gt)
DF//AC(cmt)
Do đó: F là trung điểm của AB(định lí 1 đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác ADBG có
F là trung điểm của đường chéo AB(cmt)
F là trung điểm của đường chéo DG(D và G đối xứng nhau qua F)
Do đó: ADBG là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ADBG có DG⊥AB(DF⊥AB, G∈DF)
nên ADBG là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Ta có: ED//AF(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEDF)
mà B∈AF
nên ED//AB
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC(gt)
DE//AB(cmt)
Do đó: E là trung điểm của AC(định lí 1 đường trung bình của tam giác)
⇒AC=2AE
mà DF=AE(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEDF)
và DG=2DF(F là trung điểm của DG)
nên DG=AC
Xét tứ giác ACDG có DG//AC(DF//AC, G∈DF) và DG=AC(cmt)
nên ACDG là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AD và CG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(định lí hình bình hành)(1)
Ta có: DE//AF(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEDF)
mà K∈ED
và B∈AF
nên KD//AB
Ta có: AG//DB(hai cạnh đối trong hình thoi ADBG)
mà K∈AG
nên AK//DB
Xét tứ giác ABDK có AK//DB(cmt) và KD//AB(cmt)
nên ABDK là hình bình hành(định nghĩa hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AD và BK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(định lí hình bình hành)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AD,BK,CG đồng quy(đpcm)
d) Để hình thoi ADBG là hình vuông thì \(\widehat{ADB}=90^0\)
hay AD⊥BC
Xét ΔABC có
AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(D là trung điểm của BC)
AD là đường cao ứng với cạnh BC(cmt)
Do đó: ΔABC cân tại A(định lí tam giác cân)
⇒AB=AC
Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện AB=AC thì hình thoi ADBG là hình vuông
a) Cm: AFDE là HCN:
Xét tứ giác AEDF có:
+ \(\widehat{ EAD }\) = 90o ( \(\widehat{ BAC } \) = 900 do tam giác ABC vuông tại A, E thuộc AB, F thuộc AC)
+ \(\widehat{ AED }\) = 90o ( DE vuôn góc AB)
+ \(\widehat{ DFA }\) = 900 (DF vuông góc AC)
=> AEDF là HCN ( tứ giác có 3 góc vuông)
b) Cm: EGHF là hthoi:
Xét tứ giác EGHF có:
+ D là trung điểm GF( G đối xứng với F qua D)
+ D là trung điểm EH ( H đối xứng E qua D)
=> EGHF là hình bình hành ( tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Mà: EH vuông góc GF ( \(\widehat{ EDF }\) = 900 do AEDF là HCN, D thuộc EH, D thuộc GF)
=> EGHF là hthoi ( hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)
a: Xét tứ giác ADME có
góc ADM=góc AEM=góc DAE=90 độ
nên ADME là hình chữ nhật
=>ADME là hình bình hành
b: Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
ME//AB
Do đó: E là trung điểm của AC
Xét ΔBAC có
Mlà trung điểm của CB
MD//AC
DO đó: D là trung điểm của AB
=>ME//BD và ME=BD
=>MEDB là hìh bình hành
c: Xét tứ giác AMCF có
E là trung điểm chung của AC và MF
MA=MC
DO đó: AMCF là hình thoi
a: Xét ΔCAB có CD/CA=CE/CB
nên DE//AB và DE=AB/2
=>DE//AF
mà EF//AD
nên AFED làhình bình hành
mà góc DAF=90 độ
nên AFED là hình chữ nhật
b: Xét tứ giác AECG có
D là trung điểm chung của AC và EG
EA=EC
Do đó: AECG là hình thoi
c:
AFED là hình chữ nhật
nên AE cắt FD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm của AE
Xét tứ giác ABEG có
EG//AB
EG=AB
Do đó: ABEG là hình bình hành
=>AE cắt BG tại trung điểm của mỗi đường
=>G,O,B thẳng hàng
a: Xét tứ giác AEDF có
góc AED=góc AFD=góc FAE=90 độ
nên AEDF là hình chữ nhật
b: Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DE//AC
Do đó; E là trung điểm của AB
Xét ΔBCA co
D là trung điểm của BC
DF//AB
Do đo; F là trung điểm của AC
=>EF là đường trung bình của ΔBAC
\(\text{ a) }\text{Ta có : }MD\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{MDA}=90^0\\ ME\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{MEA}=90^0\\ \text{Mà }\text{ }\widehat{A}=90^0\\ \Rightarrow\text{Tứ giác }ADME\text{ có: }\widehat{MDA}=\widehat{MEA}=\widehat{A}=90^0\\ \Rightarrow\text{Tứ giác }ADME\text{ là hình chữ nhật}\left(\text{ dấu hiệu nhận biết }\right)\)
\(\text{b) }-Xét\text{ }\Delta ABC\text{ có: }\left\{{}\begin{matrix}M\text{ là trung điểm của }BC\left(gt\right)\\MD//AC\left(cùng\text{ }\perp\text{ }với\text{ }AB\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow MD\text{ }là\text{ }đường\text{ }trung\text{ }bình\text{ }\Delta ABC\\ \Rightarrow MD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\cdot8=4\left(cm\right)\\ \Rightarrow D\text{ là trung điểm }AB\\ \Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\cdot6=3\left(cm\right)\\ \text{Mà tứ giác ADME là hình chữ nhật }\left(\text{Chứng minh ý a}\right)\\ \Rightarrow S_{ADME}=AD\cdot MD=3\cdot4=12\left(cm^2\right)\)
\(\text{c) }-Xét\text{ }\Delta ABC\text{ }có:\left\{{}\begin{matrix}M\text{ là trung điểm của }BC\left(gt\right)\\ME//AB\left(cùng\text{ }\perp\text{ }với\text{ }AC\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow E\text{ là trung điểm }AC\\ \text{Mà }E\text{ là trung điểm }MK\left(M\text{ đối xứng }K\text{ qua }E\right)\\ \Rightarrow\text{ Tứ giác }AMCK\text{ là hình bình hành }\left(\text{ Dấu hiệu nhận biết }\right)\\ MK\perp AC\left(ME\perp AC;E\in MK\right)\\ \Rightarrow\text{ Tứ giác }AMCK\text{ là hình thoi }\left(\text{ Dấu hiệu nhận biết }\right)\)
\(\text{d) Ta có : }\text{ Tứ giác }AMCK\text{ là hình thoi }\left(\text{Chứng minh ý c}\right)\\ \Rightarrow\text{ Để tứ giác }AMCK\text{ là hình vuông }\\ thì\Rightarrow AM\perp BC\\ \Rightarrow AM\text{ là đường cao ứng với cạnh }BC\text{ của }\Delta ABC\\ \)\(\text{Mà }AM\text{ là dường trung tuyến ứng với cạnh }BC\text{ của }\Delta ABC\left(M\text{ là trung điểm }BC\right)\)\(\Rightarrow\Delta ABC\text{ cân tại }A\left(\text{ Có đường trung tuyến đồng thời là đường cao }\right)\)\(\text{Mà }\Delta ABC\text{ vuông tại }A\left(gt\right)\\ \Rightarrow\Delta ABC\text{ vuông cân tại }A\)
Vậy.........................................
a) Ta có: \(\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^o\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\) ADME là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông)
b) Ta có: ME là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\) ME // AB và ME = \(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AD=ME=3\left(cm\right)\) (cạnh đối hình chữ nhật)
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}ME//AB\left(cmt\right)\\MB=MC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AE=CE=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{8}{2}=4\left(cm\right)\)
ADME là hình chữ nhật
\(\Rightarrow S_{ADME}=AD.AE=3.4=12\left(cm^2\right)\)
c) Dễ thấy AC là đường trung trực của MK
\(\Rightarrow\) AM = AK và CM = CK
Mà AM = CM (\(=\dfrac{1}{2}BC\)) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)
\(\Rightarrow\) AM = AK = CM = CK
\(\Rightarrow\) AMCK là hình thoi (tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)
d) Ta có: ME = \(\dfrac{1}{2}\)AB
\(\Rightarrow AB=2ME=MK\)
Hình thoi AMCK là hình vuông \(\Leftrightarrow AC=MK\)
\(\Leftrightarrow AC=AB\) (vì AB = MK)
\(\Leftrightarrow\Delta ABC\) cân tại A
Mà \(\Delta ABC\) vuông tại A (gt)
Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại A thì hình thoi AMCK là hình vuông.
a) Xét tứ giác ADME, ta có :
vì ABC là tam giác vuông tại a => AB vuông góc với BC, mà D thuộc D thuộc AB, E thuộc AC => AD vuông góc với AE
MD vuông góc với AB (giả thiết)
ME vuông góc với AC ( giả thiết )
=> ADME là hình chữ nhật
a) Xét tứ giác ADEF có : góc A = 90 độ ( tam giác ABC vuông tại A)
góc EFA = 90 độ ( EF vuông góc với AB tại F)
góc EDA = 90 ( ED vuông góc với AC tại D)
suy ra : ADEF là hcn
b) Xét tam giác ABC có : BE = EC ( E là trung điểm của BC )
ED song song với AB ( EFAD là hcn )
suy ra : AD = DC
Xét tứ giác AECK có : ED = DK ( E đối xứng với K qua D )
AD = DC (cmt)
suy ra : tứ giác AECK là hình bình hành
mà ED vuông góc với AC
suy ra : hbh AECK là hình thoi