K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

6 tháng 7 2019

Ta có: \(\widehat{OAC}+\widehat{OAB}=90^0;\widehat{OAC}=\widehat{EAH}=\widehat{AEF}\)

\(\widehat{AEF}+\widehat{OAC}=90^0\)\(\widehat{AKE}=90^0\Rightarrow AK\perp EF\)

Dễ chứng minh AEHF là hình chữ nhật nên AE=HF; AF=HE

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AEF vuông tại A có AK⊥EF, ta có:

\(AK.EF=AE.AF\)\(\frac{AK}{AE}=\frac{AF}{EF}\Rightarrow\frac{AK^2}{AE^2}=\frac{AF^2}{EF^2}\)\(=\frac{AK^2}{HF^2}\) (1)

\(\frac{AK}{AF}=\frac{AE}{EF}\Rightarrow\frac{AK^2}{AF^2}=\frac{AE^2}{EF^2}\)\(=\frac{AK^2}{HE^2}\) (2)

Cộng (1) với (2) ta có :

\(AK^2.\left(\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HF^2}\right)=\frac{AE^2+AF^2}{EF^2}=\frac{EF^2}{EF^2}=1\)

\(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{HF^2}\)

7 tháng 7 2019

sao góc OAC = góc EAH = góc AEF vậy bạn ?

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với EF tại M, cắt BC tại N.Gọi I là giao của AH và EF.

CMR: góc IAE = góc IEA.

Có tam giác MAE vuông tại M => góc MAE + góc MEA= 90 độ   Hay góc NAB + góc IEA = 90 độ

Có tam giác ABH vuông tại H => góc ABH + góc HAE= 90 độ   Hay góc NBA + góc IAE = 90 độ

                                                                                                      => góc NAB= góc NBA (phụ với hai góc bằng nhau)

                                                                                                      => tam giác NAB cân tại N

                                                                                                      => NA=NB

CM: NA=NC

=> NB=NC

=> N là trung điểm của BC

=> N trùng với I, M trùng với K.

mà AM vuông góc với EF

=> AK vuông góc với EF

Xét tam giác AEF vuông tại A có AK là đường cao

=> 1/AK2 = 1/AE2 + 1/AF2

Cm AE=HF, EH=AF

=> đpcm

1: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp (O)

2: góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

=>AEHF là hình chữ nhật

góc OAC+góc AFE

=góc AHE+góc OCA

=góc ABC+góc ACB=90 độ

=>FE vuông góc AO

26 tháng 9 2018

A B C H E F O

a) \(\Delta\)ABC vuông tại A có trung tuyến AO nên ^OAC = ^OCA. Do ^OCA = ^BAH (Cùng phụ ^HAC)

Nên ^OAC = ^BAH = ^ AEF (Do tứ giác AEHF là hcn)

Mà ^AEF + ^AFE = 900 => ^OAC + ^AFE = 900 => OA vuông góc EF (đpcm).

b) Biến đổi tương đương:

\(BE\sqrt{CH}+CF\sqrt{BH}=AH\sqrt{BC}\)

\(\Leftrightarrow BE\sqrt{BC.CH}+CF\sqrt{BC.BH}=AB.BC\)(Nhân mỗi vế với \(\sqrt{BC}\))

\(\Leftrightarrow BE\sqrt{AC^2}+CF\sqrt{AB^2}=AB.BC\) (Hệ thức lương)

\(\Leftrightarrow BE.AC+CF.AB=AB.BC\)

\(\Leftrightarrow BH.AH+CH.AH=AB.BC\)(Vì \(\Delta\)EBH ~ \(\Delta\)HAC; \(\Delta\)FHC ~ \(\Delta\)HBA)

\(\Leftrightarrow AH\left(BH+CH\right)=AB.BC\)

\(\Leftrightarrow AH.BC=AB.AC\) (luôn đúng theo hệ thức lượng)

Vậy có ĐPCM.

19 tháng 10 2021

Gọi G là trung điểm AH, I là trung điểm EF, MN là đtb tg ABC

Dễ thấy NG//BC;MG//BC nên M,N,G thẳng hàng

Xét tg AEF và tg HEF có AI;HI là trung tuyến ứng vs ch EF nên \(AI=HI=\dfrac{1}{2}EF\)

Do đó tg AIH cân tại I

Mà IG là trung tuyến (G là trung điểm AH) nên IG là đg cao hay \(IG\perp AH\left(1\right)\)

Xét tg AHB vuông tại H có HM là trung tuyến ứng ch AB nên \(AM=HM=\dfrac{1}{2}AB\)

Do đó tg AHM cân tại M

Mà MG là trung tuyến (G là trung điểm AH) nên MG là đg cao hay \(MG\perp AH\left(1\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow MG//GI\)

Từ đó ta được M;G;I thẳng hàng

Do đó I;M;N thẳng hàng

Vậy trung điểm EF là I nằm trên đt cố định là đường trung bình MN của tg ABC

 

1: Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

2: \(AE\cdot AB+AF\cdot AC=AH^2+AH^2=2AH^2\)

4: \(4\cdot OE\cdot OF=2OE\cdot2OF=FE\cdot AH=AH^2\)

\(HB\cdot HC=AH^2\)

Do đó: \(4\cdot OE\cdot OF=HB\cdot HC\)