K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 1 2020

A B C C1 B1 A1 O

Gọi O là giao điểm của AA1 và CC1. Ta chứng minh \(\widehat{AOB}+\widehat{AOB_1}=180^o\).

Ta có: \(\Delta C_1BC=\Delta ABA_1\)\(C_1B=AB\), BC=BA1, góc C1BC = góc ABA1 (=góc ABC+60độ).

Suy ra \(\widehat{BC_1C}=\widehat{BAA_1}\) suy tiếp \(C_1BOA\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.

\(\Rightarrow\widehat{AC_1B}+\widehat{AOB}=180^o\) \(\Rightarrow\widehat{AOB}=120^o\)\(\widehat{C_1OB}=\widehat{C_1OA}=60^o\) (cùng chắn hai cung có độ dài bằng nhau).

Tương tự ta có các góc AOB1, B1OC, COA1, A1OB đều bằng 60 độ.

Suy ra \(\widehat{AOB}+\widehat{AOB_1}=180^o\)

Vậy BOB1 thẳng hàng

17 tháng 8 2023

Bạn thử xem lại đề xem, nó không song song đâu.

22 tháng 2 2021

cho em xin lỗi em đánh thiếu. đường tròn bàng tiếp trong góc C tiếp xúc với BC tại M

 

 

26 tháng 1 2019

O A B C B1 A1 H K C1 M E N 1

a, Có : ^BCK = ^BAK ( chắn cung BK )

           ^BAK = ^BCH (Phụ ^ABC)

 => ^HCA1 = ^A1CK

=> CA1 là phân giác ^HCK

Tam giác HCK có CA1  vừa là đường cao vừa là phân giác

=> \(\Delta\)HCK cân tại C

=> CA1 là trung tuyến

=> A1 là trung điểm HK

b,\(\frac{HA}{AA_1}+\frac{HB}{BB_1}+\frac{HC}{CC_1}=1-\frac{HA_1}{AA_1}+1-\frac{HB_1}{BB_1}+1-\frac{HC_1}{CC_1}\)

                                               \(=3-\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}-\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}-\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

                                               \(=3-1\)

                                                 \(=2\)

c,D \(OM\perp BC\)tại M nên M là trung điểm BC

Xét \(\Delta\)BB1C vuông tại B1 có B1M là trung tuyến

=> B1M = MB = MC

=> ^MBB1 = ^MB1B

    và ^MB1C = ^MCB1

Mà ^B1AE = ^B1BC (Chắn cung EC)

      ^MB1C = ^AB1N (đối đỉnh)

       ^BB1M + ^CB1M = 90o

=> ^NAB1 + ^NB1A = 90o

=> \(B_1N\perp AE\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(AB_1^2=AN.AE\)

\(EB_1^2=EN.EA\)

\(\Rightarrow\frac{AB_1^2}{EB_1^2}=\frac{AN.AE}{EN.EA}=\frac{AN}{EN}\)

5 tháng 8 2016

A B C A1 B1 C1 H x y z

Đặt AA1 = a , BB1 = b , CC1 = c , HA1 = x , HB1 = y , HC1 = z (với a,b,c,x,y,z > 0)

a) Đầu tiên , ta cần chứng minh : \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) .

Thật vậy : \(\frac{x}{a}=\frac{x.BC}{a.BC}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\)\(\frac{y}{b}=\frac{y.AC}{b.AC}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\)\(\frac{z}{c}=\frac{z.AB}{c.AB}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Ta có : \(\frac{AA_1}{HA_1}+\frac{BB_1}{HB_1}+\frac{CC_1}{HC_1}=\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right).1=\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right).\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)\)

\(\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)(áp dụng bđt Bunhiacopxki)

Vậy ta có đpcm

b) Ta có : \(\frac{HA_1}{HA}+\frac{HB_1}{HB}+\frac{HC_1}{HC}=\frac{x}{a-x}+\frac{y}{b-y}+\frac{z}{c-z}=\frac{1}{\frac{a}{x}-1}+\frac{1}{\frac{b}{y}-1}+\frac{1}{\frac{c}{z}-1}\)

Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{i}+\frac{n^2}{j}+\frac{p^2}{k}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{i+j+k}\)(bạn tự chứng minh)

Ta có : \(\frac{1^2}{\frac{a}{x}-1}+\frac{1^2}{\frac{b}{y}-1}+\frac{1^2}{\frac{c}{z}-1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)-3}\ge\frac{9}{9-3}=\frac{3}{2}\)

(Từ câu a. ta có \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge9\))

Vậy ta có đpcm

5 tháng 8 2016

Đúng hay sai:

\(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{59+2}}=\frac{\sqrt{89^{x3+8}}}{\sqrt[46]{78+1}}\)

x O          v" O