Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do BN là trung tuyến
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\\\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\\2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế:
\(\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{BN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BN}\)
Ta có: 
Theo quy tắc ba điểm ta có:
Lấy (1) trừ 3 lần (2) ta được:
+ K là trung điểm của BC nên ta có:
+ M là trung điểm AC nên ta có:
+ Lại có 
Cộng (1) với (3) ta được 
,
kết hợp với (2) ta được hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình ta được
gọi G và G' lần lượt là trọng tâm tam giác BAC và A'B'C'
Trước hết ta cần biết trọng tâm của 1 ∆ABC bất kỳ có 2 tính chất sau :
G là trọng tâm ∆ABC :
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)(1)
Gọi O là điểm bất kỳ thì :
=>\(\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OC}=0\)
=> \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{GO}\)
=>\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}\)(2)
Tức là trọng tâm 1 tam giác bất kỳ luôn có t/c (1) & (2)
Nếu G là trọng tâm ∆ABC
=>\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}\)
=> \(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}=3\overrightarrow{GO}\)
Nếu G' là trọng tâm ∆A'B'C'
=> \(\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}=3\overrightarrow{OG'}\) (4)
Lấy (3) + (4) TA ĐƯỢC
=>\(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=3\overrightarrow{GG'}\)
mà G trùng G' thì GG^ = 0^
=> AA'^ + BB'^ + CC'^ = 0