K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

a) Ta có: \(\dfrac{DB}{DC}\cdot\dfrac{EC}{EA}\cdot\dfrac{FA}{FB}\)

\(=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{AB}\cdot\dfrac{AC}{BC}\)

=1

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 3 2021

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

$\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}$

$\frac{FA}{FB}=\frac{AC}{BC}$

Nhân theo vế:

$\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=\frac{AB}{AC}.\frac{BC}{BA}.\frac{AC}{BC}=1$

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 3 2021

Hình vẽ:undefined

9 tháng 9 2017

A B C O D E F

\(\frac{OA}{AD}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABD}}=\frac{S_{AOC}}{S_{ACD}}=\frac{S_{AOB}+S_{AOC}}{SABC}\)

Tương tự rồi cộng lại ta đc

\(\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{CF}=\frac{2\left(S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}\right)}{S_{ABC}}=2\)

8 tháng 9 2017

Bài Giải

Đặt SBOC=x2,SAOC=y2,SAOB=z2 ⇒SABC=SBOC+SAOC+SAOB=x2+y2+z2

Ta có : ADOD =SABCSBOC =AO+ODOD =1+AOOD =x2+y2+z2x2 =1+y2+z2x2 

⇒AOOD =y2+z2x2 ⇒√AOOD =√y2+z2x2 =√y2+z2x 

Tương tự ta có √OBOE =√x2+z2y2 =√x2+z2y ;√OCOF =√x2+y2z2 =√x2+y2z 

⇒P=√x2+y2z +√y2+z2x +√x2+z2y ≥x+y√2z +y+z√2x +x+z√2y 

           =1√2 [(xy +yx )+(yz +zy )+(xz +zx )]≥1√2 (2+2+2)=3√2

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z⇒SBOC=SAOC=SAOB=13 SABC

⇒ODOA =OEOB =OFOC =13 ⇒O là trọng tâm của tam giác ABC

Vậy MinP=3√2 khi O là trọng tâm của tam giác ABC

Xét ΔABC có AD là đường phân giác

nên DB/DC=AB/AC

Xét ΔABC có 

BE là đường phân giác

nên EA/EC=AB/BC

Xét ΔABC có CF là đường phân giác

nên FA/FB=AC/BC

\(\dfrac{DB}{DC}\cdot\dfrac{EC}{EA}\cdot\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{AB}\cdot\dfrac{AC}{BC}=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 2 2021

Lời giải:

a) Vì $FN\parallel AC$ nên áp dụng định lý Talet:

\(\frac{NC}{NB}=\frac{FA}{FB}=\frac{DB}{DC}\)

Nếu $NB=DC$ thì do $MB=MC$ nên $MB-NB=MC-DC$

$\Leftrightarrow MN=MD$ nên $M$ là trung điểm $DN$.

Nếu $NB\neq DC$ thì áp dụng TCDTSBN: $\frac{NC}{NB}=\frac{DB}{DC}=\frac{NC-DB}{NB-DC}=\frac{DC-NB}{NB-DC}=-1< 0$ (vô lý)

Vậy ta có đpcm. 

b) 

Vì $M$ là trung điểm $DN$, $P$ là trung điểm $DF$ nên $MP$ là đtb ứng với cạnh $FN$

$\Rightarrow MP\parallel FN$ và $MP=\frac{1}{2}FN(1)$ 

Mặt khác:

$FN\parallel AC\Rightarrow FN\parallel AE(2)$

$\frac{NC}{NB}=\frac{FA}{FB}=\frac{EC}{EA}$ nên theo Talet đảo thì $EN\parallel AB$ hay $EN\parallel AF(3)$

Từ $(2); (3)$ suy ra $AENF$ là hình bình hành nên $AE=FN(4)$

Từ $(1); (2);(4)$ suy ra $MP\parallel AE$ và $MP=\frac{1}{2}AE$ (đpcm)

c) Gọi $G$ là giao điểm $AM$ và $EP$. Theo định lý Talet:

$\frac{AG}{GM}=\frac{EG}{GP}=\frac{AE}{MP}=2$

$\Rightarrow \frac{AG}{AM}=\frac{EG}{EP}=\frac{2}{3}$

Do đó $G$ chính là trọng tâm của $ABC$ và $DEF$. Ta có đpcm. 

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 2 2021

Hình vẽ:

undefined