Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, $K$ là trung điểm $CB$
\(\Rightarrow \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}=0; \overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KB}=0\)
Khi đó:
\(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HB}|=|2\overrightarrow{MH}|\)
\(|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB}|=|2\overrightarrow{MK}|\)
Vì \(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow {MB}|\) nên \(|2\overrightarrow{MH}|=|2\overrightarrow{MK}|\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{MH}|=|\overrightarrow{MK}|\)
\(\Rightarrow MH=MK\) hay $M$ nằm trên đường trung trực của $HK$
Do đó dễ dàng thấy C là đáp án đúng.
Bổ đề 1: Xét tứ giác MNPQ là tứ giác lồi có MP giao NQ tại R. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của tam giác MRN;PRQ. U và V lần lượt là trung điểm của NP và MQ. Khi đó UV vuông góc với HK.
Bổ đề 2: Xét tam giác ABC nội tiếp (O), L là điểm chính giữa cung BAC. Lấy X thuộc cạnh AB, Y thuộc cạnh AC sao cho BX = CY. Khi đó LX = LY.
Hai bổ đề trên rất quen thuộc, các bạn tự chứng minh.
Giải bài toán: Đặt M,N thứ tự là trung điểm của BD,CE. Ta có BM = CN (= BD/2 = CE/2)
Gọi K là trung điểm cung BAC. Theo Bổ đề 2 thì KM = KN (1)
Dễ thấy ID = IC; IB = IE; BD = CE. Suy ra \(\Delta\)BID = \(\Delta\)EIC (c.c.c)
Hai tam giác trên có trung tuyến tương ứng là IM,IN. Do đó IM = IN (2)
Để ý rằng I là trực tâm của \(\Delta\)BFC. Áp dụng Bổ đề 1 vào tứ giác BDEC ta được IH vuông góc MN (3)
Từ (1);(2) và (3) suy ra ba điểm I,H,K thẳng hàng. Đó là điều phải chứng minh.
a: Xét ΔABC và ΔADB có
góc ABC=góc ADB
góc BAC chung
=>ΔABC đòng dạng với ΔADB
=>AB/AD=AC/AB
=>AB^2=AD*AC
b: góc AMO=góc ABO=90 độ
=>ABMO nội tiếp, I là trung điểm của AO
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB; BC. Khi đó, ta có
M A → + M B → = M C → + M B → ⇔ 2 M E → = 2 M F → ⇔ M E → = M F →
Do đó, M thuộc đường trung trực của EF.
Đáp án C