Question

[Bùi Đức Anh]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại N. Qua A kẻ đg // BC cắt (O) tại M. NM cắt (O) tại K. NO cắt (O) tại I.AK cắt BC tại H. C/m H là trđ BC

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

*** Mình chưa thấy điểm $I$ có vai trò gì trong bài này.

Gọi $D$ là giao điểm $BC, AN$ và $L$ là giao $AN$ với $(O)$

Dễ thấy $\triangle ABN=\triangle MCN$ do:

$AB=MC$ (tính chất cung bị chặn bởi 2 dây song song)

$NB=NC$

$\widehat{ABN}=\frac{1}{2}\text{sđc(AB>)}=\frac{1}{2}\text{sđc(MC>)}=\widehat{MCN}$

Do đó:

$\widehat{BAD}=\widehat{BAN}=\widehat{CMN}=\widehat{CAH}$

$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAD}$

Ta có:

$\frac{HB}{CH}=\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}}=\frac{AB.AH.\sin BAH}{AC.AH.\sin CAH}=\frac{AB.\sin BAH}{AC\sin CAH}$

$=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin BAH}{\sin CAH}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CAD}{\sin BAD}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CAL}{\sin BAL}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CBL}{\sin BCL}=\frac{AB}{AC}.\frac{LC}{BL}(*)$

Mà:

Dễ cm $\triangle ABN\sim \triangle BLN, \triangle ACN\sim \triangle CLN$

$\Rightarrow \frac{AB}{BL}=\frac{BN}{LN}=\frac{CN}{LN}=\frac{AC}{CL}$

$\Rightarrow \frac{LC}{BL}=\frac{AC}{AB}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{BH}{HC}=\frac{AB}{AC}.\frac{AC}{AB}=1$

$\Rightarrow BH=HC$ nên $H$ là trung điểm của $BC$

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: