Question

[Nguyễn Thị Thủy]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là 1 điểm thay đổi trên cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD lần lượt cắt AC,AB tại E,F. Gọi K là giao điểm của BE và CF.

a) Chứng minh: Nếu O,A,D thẳng hàng thì HK // BC ?

b) Kí hiệu diện tích tam giác BKC =S .Khi D thay đổi ta luôn có \(S\le\left(\frac{BC}{2}\right)^2.tan\frac{\widehat{BAC}}{2}\) ?

b) Gọi I là tâm ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh BF.BA -CE.CA = BD² - CD² và DI vuông góc BC ?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta thấy: \(\Delta\)ABC nhận H làm trực tâm nên ^BHC + ^BAC = 180⁰ (1)

Ta có: ^FKE = ^BKC = 180⁰ - ^KBC - ^KCB = 180⁰ - ^EAD - ^FAD = 180⁰ - ^EAF => ^BKC + ^BAC = 180⁰ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ^BHC = ^BKC => Tứ giác BHKC nội tiếp => ^KHC = ^KBC = ^CAD

Mà AD đi qua tâm ngoại tiếp (O) của \(\Delta\)ABC, AH vuông góc BC nên dễ thấy ^CAD = ^BAH

Từ đó: ^KHC = ^BAH = ^BCH => HK // BC (2 góc so le trong bằng nhau) (đpcm).

b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CK cắt (O) tại điểm thứ hai G.

Xét (O): ^BGC + ^BAC = 180⁰. Mà ^BKC + ^BAC =180⁰ (cmt) nên ^BGC = ^BKC

=> ^KBC = ^GCB => BK // CG => Tứ giác BKCG là hình bình hành => S = S_BGC

Hạ GT vuông góc BC thì S = S_BGC = GT.BC/2 < G₀L.BC/2 (Với G₀ là điểm chính giữa cung BC không chứa A)

Lại có: ^LBG₀ = 1/2.Sđ(BC = ^BAC/2 => G₀L = BL.tan^BAC/2 hay G₀L = BC/2 . tan^BAC/2

Suy ra: S < BC/2 . tan^BAC/2 . BC/2 = (BC/2)².tan^BAC/2 (đpcm).

c) +) Chứng minh BF.BA - CE.CA = BD² - CD² ?

Theo tính chất góc nội tiếp: ^KED = ^BED = ^BAD = ^DAF = ^DCF = ^DCK => Tứ giác DKEC nội tiếp

Tương tự: Tứ giác DKFB nội tiếp. Áp dụng phương tích đường tròn:

BF.BA - CE.CA = BD.BC - CD.CB = BC(BD-CD) = (BD+CD)(BD-CD) = BD² - CD² (đpcm).

+) Chứng minh: DI vuông góc với BC ?

Từ câu a ta có: ^EKF + ^EAF = 180⁰ => Tú giác AEKF nội tiếp => K nằm trên (AEF)

Nối I với E và F thì có: ^IFK + ^IEK = ^IKF + ^IKE = ^EKF = ^BKC

=> ^IFK + ^IEK + ^KBC + ^KCB = ^IFK + ^IEK + ^KFD + ^KED = ^IFD + ^IED = 180⁰ (Do DKEC;DKFB nội tiếp)

Suy ra: Tứ giác DEIF nội tiếp => ^IDF = ^IEF = ^IFE = ^IDE. Kết hợp với ^BDF = ^CDE (=^BAC)

Dẫn đến ^IDF + ^BDF = ^IDE + ^CDE => ^IDB = ^IDC => ID vuông góc BC (2 góc kề bù bằng nhau) (đpcm).

Answer 2

[huynh van vang]

i love you