Question

[võ đặng phương thảo]

Cho tam giác ABC nhọn. các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. M, N thứ tự là trung điểm của HC, AC, AM cắt HN tại G.Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. CMR

a.tam giác AFE đồng dạng tam giác ABC và S_AEF=S_ABC.cos²_BAC

b.BH.KM=BA.KN

c.\(\sqrt{\frac{GA^5+GB^5+GH^5}{GM^5+GK^5+GN^5}}\)=\(4\sqrt{2}\)

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

a.  Hai tam giác vuông \(AEC,AFB\) có chung góc nhọn đỉnh A nên đồng dạng với nhau. Suy ra \(\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}\to\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c.g.c\right)\). Từ đây, sử dụng tính chất tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng, cho ta \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AE}{AB}\right)^2=\left(\cos\angle BAC\right)^2.\)

b. Xét hai tam giác \(\Delta KMN,\Delta BHA\) có \(KM\parallel BA,KN\parallel BH,MN\parallel AH\to\Delta KMN\sim\Delta BHA\left(g.g\right)\) (các góc tạo bởi các cạnh tương ứng song song thì bằng nhau). Đặc biệt ta suy ra \(\frac{KM}{KN}=\frac{BH}{BA}\to BH\cdot KM=BA\cdot KN.\)

c.  Theo câu b., vì hai tam giác  \(\Delta KMN,\Delta BHA\)  đồng dạng nên \(\frac{KN}{BH}=\frac{MN}{AH}=\frac{1}{2}\to\) theo định lý Ta-let, đường thẳng KB cắt HN ở điểm G' sao cho \(\frac{G'N}{G'H}=\frac{1}{2}.\)  Suy ra G' là trọng tâm tam giác AHC. Mặt khác theo giả thiết G là giao điểm của HN và AM, là hai trung tuyến của tam giác AHC. Suy ra G cũng là trọng tâm tam giác AHC. Vậy G và G' trùng nhau. Đặc biệt ta suy ra \(K,G,B\) thẳng hàng. 

Theo tính chất trọng tâm và định lý Ta-let,  ta có \(\frac{GA}{GM}=\frac{GB}{GK}=\frac{GH}{GN}=2\to\left(\frac{GA}{GM}\right)^5=\left(\frac{GB}{GK}\right)^5=\left(\frac{GH}{GN}\right)^5=32\) 

Do đó theo tính chất tỉ lệ thức:   \(\left(\frac{GA}{GM}\right)^5=\left(\frac{GB}{GK}\right)^5=\left(\frac{GA}{GN}\right)^5=32=\frac{GA^5+GB^5+GH^5}{GM^5+GK^5+GN^5}\) 

Suy ra \(\sqrt{\frac{GA^5+GB^5+GH^5}{GM^5+GK^5+GN^5}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.\)  (ĐPCM)