Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đây nhá:)Sửa đề:
Chứng minh rằng \(\Sigma S_a\left(b-c\right)^2\ge S\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Nếu \(s_a+S_b\ge0;S_b+S_c\ge0;2\sqrt{\left(S_a+S_b\right)\left(S_b+S_c\right)}+2S_b-S\left(c-a\right)\ge0\)
Xét TH \(a\ge b\ge c\) thì bđt đề bài hiển nhiên đúng nên ta chỉ xét:
\(a\le b\le c\) khi đó \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) (1)
Ta có: \(S_a\left(b-c\right)^2+S_b\left(c-a\right)^2+S_c\left(a-b\right)^2\)
\(=\left(S_a+S_b\right)\left(b-c\right)^2+\left(S_c+S_b\right)\left(a-b\right)^2+2S_b\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)
\(\ge2\sqrt{\left(S_a+S_b\right)\left(S_b+S_c\right)}\left(a-b\right)\left(b-c\right)+2S_b\left(b-c\right)\left(a-b\right)\)
(CÔ si)
Như vậy, BĐT đề bài sẽ được chứng minh nếu:
\(2\sqrt{\left(S_a+S_b\right)\left(S_b+S_c\right)}\left(a-b\right)\left(b-c\right)+2S_b\left(b-c\right)\left(a-b\right)\ge S\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(2\sqrt{\left(S_a+S_b\right)\left(S_b+S_c\right)}+2S_b-S\left(c-a\right)\right)\ge0\)
Và điều này luôn đúng theo (1) và giả thiết đề bài.
\(S_a\left(b-c\right)^2\) là gì vậy, cái này em chưa học. Giải thích đi để em xem thế nào...
\(\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{MA}-5\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=3\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)+2\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)\)
\(=3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}\right)+2\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BM}\right)=3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\) (không phụ thuộc vào vị trí điểm M).
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=\overrightarrow{0}\)
=>vecto MA=0 hoặc M là trọng tâm của ΔABC
=>M là trọng tâm của ΔABC hoặc M trùng với A
Lời giải:
a.
\(|\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{BA|}\)
Tập hợp điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $C$ đường bán kính $AB$
b. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Khi đó:
\(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}|\)
\(=|2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}|=|2\overrightarrow{MI}|=0\)
\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MI}|=0\Leftrightarrow M\equiv I\)
Vậy điểm $M$ là trung điểm của $AB$
c.
Trên tia đối của tia $CA$ lấy $K$ sao cho $KC=\frac{1}{3}CA$
\(|\overrightarrow{MA}|=2|\overrightarrow{MC}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}|=2|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC}|\)
\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC}|=|2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC}|\)
\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{MK}+4\overrightarrow{KC})^2=(2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{KC})^2\)
\(\Leftrightarrow MK^2+16KC^2=4MK^2+4KC^2\)
\(\Leftrightarrow 12KC^2=3MK^2\Leftrightarrow MK=2KC=\frac{2}{3}AC\)
Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $K$ bán kính $\frac{2}{3}AC$
