Question

[Đặng Hoàng Khánh Linh]

Cho tam giác ABC, lấy điểm E sao cho A là trung điểm của BE, điểm M ∈ AC sao cho AM = \(\frac{1}{3}\)AC. Tia BM cắt EC tại N.

a) Chứng minh: N là trung điểm của EC

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm BM, CM. Chứng minh: AN//IK và AN = IK

c) Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh: 3 điểm E, M, H thẳng hàng

Answer 1

[Trúc Giang]

a) Ta có: AC là đường trung tuyến của BE (GT)

Hay: AC là đường trung tuyến của tam giác EBC

Lại có: \(AM=\frac{1}{3}AC\left(GT\right)\)

=> M là trọng tâm của tam giác EBC

=> BM là đường trung tuyến EC

Hay: BN là đường trung tuyến EC

=> N là trung điểm của EC

b) Có: AM + MC = AC

\(\Rightarrow\frac{1}{3}AC+MC=AC\)

\(\Rightarrow MC=AC-\frac{1}{3}AC=\left(1-\frac{1}{3}\right)AC=\frac{2}{3}AC\)

Lại có: K là trung điểm của MC (GT)

\(\Rightarrow MK=CK=MC:2=\frac{2}{3}AC:2=\frac{2}{3}.AC.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}AC\)

\(\Rightarrow MK=KC=AM\left(=\frac{1}{3}AC\right)\)

Ta có: M là trọng tâm của tam giác EBC (cmt)

\(\Rightarrow BM=\frac{2}{3}BN\)

Lại có: I là trung điểm của BM (GT)

\(\Rightarrow BI=IM=BM:2=\frac{2}{3}.BN.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}BN\)

BM + MN = BN

\(\Rightarrow\frac{2}{3}BN+MN=BN\)

\(\Rightarrow MN=BN-\frac{2}{3}BN=\left(1-\frac{2}{3}\right)BN=\frac{1}{3}BN\)

\(\Rightarrow BI=IM=MN\left(=\frac{1}{3}BN\right)\)

Xét ΔAMN và ΔKMI ta cos:

AM = MK (cmt)

\(\widehat{AMN}=\widehat{IMK}\left(đối-đỉnh\right)\)

MN = MI (cmt)

=> ΔAMN = ΔKMI (c - g - c)

=> AN = IK (2 cạnh tương ứng)

Và: \(\widehat{ANM}=\widehat{MIK}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này lại là 2 góc so le trong

=> AN // IK

c/ Ta có: M là trọng tâm của tam giác EBC (cmt)

=> EM là trung tuyến của BC

Lại có: H là trung điểm của BC

=> E, M, H thẳng hàng