1. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Kẻ DD' song song với OA, EE' song song với OB, FF' song song với OC. Chững minh DD', EE', FF' đồng quy2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Diểm M thuộc cung nhỏ BC. Gọi I, K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC, BC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, HKa) Chứng minh:ΔBMA đồng dạng ΔHMKb)...
Đọc tiếp
1. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Kẻ DD' song song với OA, EE' song song với OB, FF' song song với OC. Chững minh DD', EE', FF' đồng quy
2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Diểm M thuộc cung nhỏ BC. Gọi I, K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC, BC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, HK
a) Chứng minh:ΔBMA đồng dạng ΔHMK
b) Chứng minh: ΔBMH đồng dạng ΔPMQ TỪ ĐÓ SUY RA MQ⊥PQ
c) Cho ΔABC đều. Xác định vị trí của điểm M trên cũng BC để MA+MB+MC đạt giá trị lớn nhất
3. Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia OA, BO, CO lần lược cắt BC, AC, AB tại M, N, P.
a) Chứng minh \(\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}=\frac{OM}{AM}\)
b) Chứng minh: \(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\)≥9
a) Gọi H là giao của PN và BC, I là giao của MP và BC
Ta có \(\frac{AN}{AC}+\frac{NC}{AC}=1\left(1\right)\)
Mặt khác áp dụng định lý Talet ta có:
\(\frac{NC}{AC}=\frac{CH}{BC}=\frac{CI+CH}{BC}=\frac{CI}{BC}+\frac{CH}{BC}\left(2\right)\)
Vì MI//AC nên \(\frac{CI}{BC}=\frac{AM}{AB}\left(3\right)\)
Vì \(\Delta\)ABC đồng dạng với \(\Delta\)PHI (gg)
=> \(\frac{IH}{BC}=\frac{PH}{AB}\)mà \(\frac{PH}{AB}=\frac{PQ}{AQ}\left(4\right)\)
Từ (1)(2)(3)(4) => \(\frac{AN}{AC}+\frac{NC}{AC}=....=\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}+\frac{PQ}{AQ}=1\left(đpcm\right)\)
b) Từ câu (a) ta có:
\(\frac{AM\cdot AN\cdot PQ}{AB\cdot AC\cdot AQ}=\frac{CI\cdot AN\cdot IH}{BC\cdot AC\cdot BC}=\frac{CI\cdot BH\cdot IH}{BC\cdot BC\cdot BC}=\frac{1}{27}\)
=> \(CI\cdot BH\cdot IH=\frac{BC^3}{27}\)
Mặt khác áp dụng BĐT Cosi cho 3 số không âm ta có:
\(CI\cdot BH\cdot IH\le\frac{\left(CI+IH+HB\right)^3}{3^3}=\frac{1}{27}\)
Gọi H = PN ∩ BC; I = MP ∩ BC
a, Ta có: \(\frac{AN}{AC}+\frac{NC}{AC}=1\left(1\right)\)
Mặt khác, áp dụng định lý Ta-lét, ta có:
\(\frac{NC}{AC}=\frac{CH}{BC}=\frac{CI+HI}{BC}=\frac{CI}{BC}+\frac{HI}{BC}\left(2\right)\)
Vì MI//AC nên \(\frac{CI}{BC}=\frac{AM}{AB}\left(3\right)\)
Vì ΔABC đồng dạng với ΔPHI (g.g)
=> \(\frac{HI}{BC}=\frac{PH}{AB}\) mà \(\frac{PH}{AB}=\frac{PQ}{AB}\)
nên \(\frac{HI}{BC}=\frac{PQ}{AB}\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
\(\frac{AN}{AC}+\frac{NC}{AC}=\frac{AN}{AC}+\frac{CI}{BC}+\frac{HI}{BC}\)
\(=\frac{AN}{AC}+\frac{AM}{AB}+\frac{PQ}{AQ}=1\left(đpcm\right)\)
b, Từ câu a ta có:
\(\frac{AM.AN.PQ}{AB.AC.AQ}=\frac{CI.AN.IH}{BC.AC.BC}=\frac{CI.BH.IH}{BC.BC.BC}=\frac{1}{27}\)
\(\Leftrightarrow CI.BH.IH=\frac{1}{27}.BC^3\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm, ta có:
\(CI.BH.IH\le\frac{\left(CI+BH+IH\right)^3}{3^3}=\frac{1}{27}.BC^3\)
Dấu "=" xảy ra <=> CI = BH = IH
<=> Q là trung điểm của BC và AP\(=\frac{2}{3}AQ\)