Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường phân giác của tam giác ABC lần lượt hạ từ A, B, C.
Gọi T là trung điểm của BC. Do AD là đường phân giác của tam giác ABC nên \(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow\frac{BD}{5}=\frac{CD}{7}=\frac{BD+CD}{5+7}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BD=2,5\\CD=3,5\end{cases}}\)
\(\Delta ABD\) có BI là đường phân giác nên \(\frac{AI}{ID}=\frac{BA}{BD}=\frac{5}{2,5}=2\)
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\frac{AG}{GT}=2\)
Từ các kết quả trên ta được \(\frac{AI}{ID}=\frac{AG}{GT}=2\)suy ra IG // DT hay IG // BC (Theo định lý Thales đảo)
b) Ta có \(\Delta BMI=\Delta BDI\)vì \(BD=BM=2,5;\widehat{DBI}=\widehat{MBI}\); BI là cạnh chung
Suy ra \(\widehat{BMI}=\widehat{BDI}\)
Chứng minh tương tự \(\Delta CNI=\Delta CDI\Rightarrow\widehat{ CNI}=\widehat{CDI}\)
Mà \(\widehat{BDI}+\widehat{CDI}=180^0\)nên \(\widehat{BMI}+\widehat{CNI}=180^0\)suy ra\(\widehat{AMI}+\widehat{ANI}=180^0\)
Vậy tứ giác AMIN nội tiếp hay bốn điểm A, M, I, N cùng nằm trên 1 đường tròn (đpcm)
Gọi G' là giao của IJ và AA1
Xét \(\Delta\)ABC có B1;C1 lần lượt là trung điểm của cạnh AC và AB
=> B1C1 =\(\frac{BC}{2}\). Tương tự: A1B1=\(\frac{AB}{2}\); C1A1=\(\frac{CA}{2}\)
Xét \(\Delta\)A1B1C1 và \(\Delta\)ABC có: \(\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{C_1A_1}{CA}\left(=\frac{1}{2}\right)\)
Do đó tam giác A1B1C1 đồng dạng với tam giác ABC (c.c.c)
=> \(\widehat{B_1A_1C_1}=\widehat{BAC};\widehat{A_1B_1C}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{JA_1B_1}=\frac{\widehat{B_1A_1C_1}}{2},\widehat{IAB}=\frac{\widehat{BAC}}{2}\)
Do đó: \(\Delta JA_1B_1\) đồng dạng với tam giác IAB (g.g)
=> \(\frac{JA_1}{IA}=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{1}{2}\)
Mà \(\widehat{BAA_1}=\widehat{AA_1B_1}\left(slt;AB//A_1B_1\right)\). Nên \(\widehat{IAA_1}=\widehat{IA_1A}\Rightarrow AI//A_1J\)
Xét tam giác G'AI có: A1J // AI => \(\frac{G'A_1}{G'A}=\frac{G'J}{G'I}=\frac{JA_1}{IA}=\frac{1}{2}\) (hệ quả của định lý Talet)
=> \(AG'=\frac{2}{3}AA_1\)
Tam giác ABC có AA1 là đường trung tuyến, G' thuộc đoạn thẳng AA1 và AG' \(=\frac{2}{3}AA_1\)
Do đó G' là trọng tâm tam giác ABC, G' thuộc đoạn thẳng AA1 và AG'=\(\frac{2}{3}AA_1\)