Question

[๖ۣۜLuyri Vũ๖ۣۜ]

Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 120 độ. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE, CD.CMR:

a, IA+IB=ID

b,Gọi M là trung điểm của BC. CMR : \(AB^2+AC^2=2AM^2+\frac{BC^2}{2}\)

Answer 1

[✰๖ۣۜŠɦαɗøω✰]

a) (Nếu cj biết vẽ hình rồi thì thôi nha chị, còn nếu chị chưa vẽ được hình thì chị có thể nhắn tin với em ạ )

Ta có : tam giác ABE và tam giác ADC có : 

AB = AD

AC=AE

góc DAC  = góc BAE  ( cũng = góc BAC t60 độ ) 

=> tam giác ABE  = tam giác ADC ( c . g . c ) 

=> góc AEB  = góc ACD ( 2 góc tương ứng) ; BE = CD

Gọi F là tia đối tia BI sao cho DI=IF

=> tam giác DIF đều do góc DIB = 60 độ

Xét tam giác DBF  và tam giác DAI có : 

DF = DI , DB = DA  , góc FDB = góc IDA = 60 độ - góc BDI 

Vậy ta có : ID = IF = IB + FB = IB + IA ( đpcm )

b) Ta có : AM² = \(\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM ta có : 

AM² =BA² + BM² -2.BA . BM .cos B

       = AB² + BM² -2.AB . BM . \(\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.AB.BC}\)

        = AB² + \(\frac{BC^2}{4}-2.BM.\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.2.BM}\)

       = \(\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}\)

<=> AB² + AC² =2.AM² + \(\frac{BC^2}{2}\)