Câu hỏi của Nguyễn Thị Hải Yến

Question

Cho tam giác ABC có đọ ài các cạnh bằng a, b, c, diện tích tam giác bằng S. Chứng minh rằng: 6S ≤ a2 + b2 + c2

Hung nguyen · Accepted Answer

Ta cần chưng minh:

$6\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\le a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow6\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}{16}}\le a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow\dfrac{9\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}{4}\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2$

$\Leftrightarrow13\left(a^4+b^4+c^4\right)-10\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)+10\left(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\right)\ge0$đung

Dâu = xảy ra khi $a=b=c=0$ mà cai này coc phải tam giac nên đề bài co vân đề.Câu trả lời: Ta cần chưng minh:

$6\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\le a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow6\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}{16}}\le a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow\dfrac{9\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}{4}\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2$

$\Leftrightarrow13\left(a^4+b^4+c^4\right)-10\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)+10\left(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\right)\ge0$đung

Dâu = xảy ra khi $a=b=c=0$ mà cai này coc phải tam giac nên đề bài co vân đề.