Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Do A không thuộc hai đường trung tuyến đã cho nên giả sử đường trung tuyến xuất phát từ B, C lần lượt là \(2x-y+1=0;x+y-4=0\)
Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+1=0\\x+y-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\Rightarrow G=\left(1;3\right)\)
Gọi M là trung điểm BC, ta có \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+3=\dfrac{2}{3}\left(x_M+2\right)\\3-3=\dfrac{2}{3}\left(y_M-3\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=4\\y_M=3\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(4;3\right)\)
Gọi \(N=\left(m;2m+1\right)\) là trung điểm AC \(\Rightarrow C=\left(2m+2;4m-1\right)\)
Mà C lại thuộc CG nên \(2m+2+4m-1-4=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow C=\left(3;1\right)\)
Phương trình đường thẳng BC:
\(\dfrac{x-4}{3-4}=\dfrac{y-3}{1-3}\Leftrightarrow2x-y-5=0\)
2.
1.
Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-5y+1=0\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow G=\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)
Gọi I là trung điểm BC, ta có \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{3}-1=\dfrac{2}{3}\left(x_I-1\right)\\\dfrac{1}{3}-2=\dfrac{2}{3}\left(y_I-2\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{1}{2}\\y_I=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)
Gọi \(M=\left(5m-1;m\right)\) \(\Rightarrow C=\left(10m-3;2m-2\right)\)
Mà C lại thuộc CN nên \(10m-3+2m-2-1=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow C=\left(2;-1\right)\)
Phương trình đường thẳng BC:
\(\dfrac{x-2}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{y+1}{-1+\dfrac{1}{2}}\Leftrightarrow x+3y+1=0\)
Cho tam giác abc có tọa độ A(-2;3) pt đường trung tuyến BM 2x-y+1=0 và CN x+y-4=0 M,N lần lượt là trung điểm AC và AB .TÌM tọa độ B
Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\) tọa độ G là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+7y-10=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
Gọi D là trung điểm BC, theo tính chất trọng tâm:
\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{3}\left(x_D-1\right)=-\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}\left(y_D-3\right)=-\dfrac{5}{3}\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
Do B thuộc BM nên tọa độ có dạng: \(B\left(10-7b;b\right)\)
Do D là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_D-x_B=7b-9\\y_C=2y_D-y_B=1-b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(7b-9;1-b\right)\)
Do C thuộc CN nên:
\(7b-9-2\left(1-b\right)+2=0\Rightarrow b=1\)
\(\Rightarrow B\left(3;1\right)\)
Biết tọa độ 2 điểm B; D thuộc BC, bây giờ có thể dễ dàng viết pt BC
1.
\(\overrightarrow{OA}=\left(1;3\right)\Rightarrow OA=\sqrt{10}\)
Gọi I là trung điểm OA \(\Rightarrow I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)
Phương trình đường tròn đường kính OA nhận I là trung điểm và có bán kính \(R=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\):
\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{2}\)
b.
Gọi 2 trung tuyến là BN và CM (với M, N là trung điểm AB và AC)
B thuộc BN nên tọa độ có dạng: \(\left(b;1\right)\)
M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(\dfrac{b+1}{2};2\right)\)
M thuộc CM nên tọa độ thỏa mãn:
\(\dfrac{b+1}{2}-4+1=0\Rightarrow b=5\Rightarrow B\left(5;1\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)\Rightarrow\) pt AB: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=3-t\end{matrix}\right.\)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\) G là giao điểm BN và CM
Tọa độ G thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(1;1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=-3\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-3;-1\right)\)
Biết tọa độ C, A, B bạn tự viết pt 2 cạnh còn lại
2.
AB vuông góc với trung trực của AB nên nhận (2;-3) là 1 vtpt và (3;2) là 1 vtcp
Phương trình tham số:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=-3+2t\end{matrix}\right.\)
Phương trình tổng quát:
\(2\left(x+1\right)-3\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow2x-3y-7=0\)
b. Câu này tìm trung điểm của AB hay BC nhỉ? Ta chỉ có thể tìm được trung điểm BC sau khi hoàn thành câu c (nghĩa là thứ tự bài toán bị ngược)
Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow\) tọa độ N thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y-7=0\\3x+2y-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(2;-1\right)\)
N là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_N-x_A=5\\y_B=2y_N-y_A=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(5;1\right)\)
G là trọng tâm tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=8\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(8;-4\right)\)
\(\Rightarrow M\left(\dfrac{13}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)
Vì điểm A không thuộc hai đường trung tuyến trên nên hai đường trung tuyến đã cho xuất phát từ B và C.
Gọi BM, CN là các trung tuyến của tam giác.
Giả sử BM có phương trình \(x+y-4=0\), CN có phương trình \(2x-y+1=0\)
Gọi \(M=\left(m;4-m\right)\Rightarrow C\left(2m+2;5-2m\right)\)
Vì C thuộc đường thẳng \(2x-y+1=0\)
\(\Rightarrow2\left(2m+2\right)-\left(5-2m\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow m=0\)
\(\Rightarrow C=\left(2;5\right)\)
Tương tự ta tìm được \(B=\left(3;1\right)\)
\(\Rightarrow BC:4x+y-13=0\)
\(\Rightarrow M=\left(1;9\right)\in BC\)
Trực tâm H là giao điểm của BH và AH ⇒ tọa độ H là nghiệm của hệ:
A là giao điểm của AB và AH nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
B là giao điểm BH và AB nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
+ AC ⊥ HB, mà HB có một vtpt là (5; -4)⇒ AC nhận (4; 5) là một vtpt
AC đi qua 
⇒ Phương trình đường thẳng AC: 
hay 4x + 5y – 20 = 0.
+ CH ⊥ AB, AB có một vtpt là (4; 1) ⇒ CH nhận (1; -4) là một vtpt
CH đi qua 
⇒ Phương trình đường thẳng CH: 
hay CH: 3x – 12y - 1 = 0.
+ BC ⊥ AH , mà AH nhận (2; 2) là một vtpt
⇒ BC nhận (1; -1) là một vtpt
BC đi qua B(3; 0)
⇒ Phương trình đường thẳng BC: 1(x - 3) – 1(y – 0) = 0 hay x – y – 3 = 0.
Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)\) làm vecto pháp tuyến
AB đi qua A (1; -1) nên nó có phương trình là
x - 1 + 2 (y + 1) = 0 hay x + 2y + 1 = 0
Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M ∈ Δ, tọa độ của M có dạng
M (t ; 2t + 1) với t là số thực và \(\overrightarrow{AM}=\left(t-1;2t+2\right)\)
⇒ AM ⊥ Δ
⇒ \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0\)
⇒ t + 1 + 2. (2t + 2) = 0
⇒ t = -1
Vậy M (- 1; - 1)
M là trung điểm của AB => Tọa độ B
Làm tương tự như thế sẽ suy ra tọa độ C
hai đường trung tuyến đã cho đều không phải là đường trung tuyến xuất phát từ A vì tọa độ của A không thỏa mãn các phương trình của chúng .
đặc BM : \(2x-y+1=0\) và CN : \(x+y-4=0\) là 2 trung tuyến của tam giác ABC
đặc B\(\left(x;y\right)\) , ta có N \(\left(\dfrac{x-2}{2};\dfrac{y+3}{2}\right)\) và \(\left\{{}\begin{matrix}B\in BM\\N\in CN\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y+1=0\\\dfrac{x-2}{2}+\dfrac{y+3}{2}-4=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=-1\\x+y=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=5\end{matrix}\right.\)
vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là : \(2x-4y+16=0\) \(\Leftrightarrow x-2y+8=0\)
tương tự ta có phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là : \(2x+5y-11=0\) phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là : \(4x+y-13=0\)