Question

[Ryan]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ 2 đường cao BE, CF
a) Tính EF theo BC=a , biết \(\widehat{BAC}=60^0\)
b) Trên nửa đường tròn đường kính BC không chứa E, F lấy M bất kì. Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu của M trên BC,CE,EB. Tìm GTNN của \(S=\frac{BC}{HM}+\frac{CE}{MI}+\frac{EB}{MK}\)

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a)  Ta thấy ngay \(\Delta AEB\sim\Delta AFC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Vậy thì \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\Rightarrow\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}\) 

Xét tam giác vuông ABE có \(cos\widehat{BAE}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow\frac{AE}{AB}=cos60^o=\frac{1}{2}\)

Suy ra \(\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow EF=\frac{a}{2}\)

b) Ta thấy ngay tứ giác BKHM nội tiếp nên \(\widehat{KHB}=\widehat{KMB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK)

Ta cũng có tứ giác CIHM nội tiếp nên \(\widehat{CMI}=\widehat{CHI}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CI)

Ta thấy ngay E thuộc đường tròn đường kính BC nên \(\widehat{EBM}=\widehat{ICM}\)

(Góc ngoài tại đỉnh đối diện)

Suy ra \(\widehat{BMK}=\widehat{CMI}\) nên \(\widehat{KHB}=\widehat{CHI}\)

Vậy I, H, K thẳng hàng.

Ta thấy ngay \(\Delta EIK\sim\Delta HMC\sim\Delta HBM\Rightarrow\frac{EI}{MI}=\frac{EI}{EK}=\frac{MH}{CH}\)

và \(\frac{MH}{BH}=\frac{EK}{EI}=\frac{EK}{MK}\)
Mà \(\Delta CMI\sim\Delta BMK\Rightarrow\frac{CI}{MI}=\frac{BK}{MK}\) 
Vậy thì \(S=\frac{BC}{MH}+\frac{CE}{MI}+\frac{BE}{MK}=\frac{BH+HC}{MH}+\frac{EI-CI}{MI}+\frac{BK+KE}{MK}\)

\(=\frac{BH}{MH}+\frac{CH}{MH}+\frac{EI}{MI}-\frac{CI}{MI}+\frac{BK}{MK}+\frac{EK}{MK}\)

\(=\left(\frac{BH}{MH}+\frac{CH}{MH}\right)+\left(\frac{MH}{CH}-\frac{BK}{MK}\right)+\left(\frac{BK}{MK}+\frac{MH}{BH}\right)\)

\(=\left(\frac{BH}{MH}+\frac{MH}{BH}\right)+\left(\frac{CH}{MH}+\frac{MH}{CH}\right)\ge2+2=4\)
\(\Rightarrow minS=4\Leftrightarrow MH=BH=CH\)
hay M ở chính giữa cung BC.

Answer 2

[Thắng Hoàng]

Chi. Quan li lam dung roi