Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{x^2}{2-x^2}+\frac{1-x^2}{1+x^2}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{x^2-2+2}{2-x^2}+\frac{-1-x^2+2}{1+x^2}\)
\(\Leftrightarrow P=-1+\frac{2}{2-x^2}-1+\frac{2}{1+x^2}\)
\(\Leftrightarrow P=-1-1+2\left(\frac{1}{2-x^2}+\frac{1}{1+x^2}\right)\)
Ta sẽ c/m \(\frac{1}{2-x^2}+\frac{2}{1+x^2}\le\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{2-x^2}+\frac{1}{1+x^2}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+x^2+2-x^2}{\left(2-x^2\right)\left(1+x^2\right)}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(2-x^2\right)\left(1+x^2\right)}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(2-x^2\right)\left(1+x^2\right)}\le\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\le2+2x^2-x^2-x^4\)
\(\Leftrightarrow0\le x^2-x^4\)
\(\Leftrightarrow0\le x^2\left(1-x^2\right)\)( luôn đúng với \(0\le x\le1\))
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=0\\1-x^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)
=> \(P\le-1-1+2.\frac{3}{2}=-2+3=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=0\\1-x^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)
Vậy \(P_{max}=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)
P/S: có gì sai sót xin bỏ qua
ĐK: x khác 0
Từ\(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
\(\Rightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}+x^2+xy+\frac{y^2}{4}=6+xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x+\frac{y}{2}\right)^2=6+xy\)
Do VT > 0\(\Rightarrow6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 + 6 = 2022
tth : Viết nhầm :V
Đoạn cuối \(6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge-6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 - 6 = 2010 !!!
Được rồi chứ gì -.-
\(3=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x^2+\frac{y^2}{4}\right)\ge2+\left|xy\right|\Rightarrow\left|xy\right|\le1\Rightarrow-1\le xy\le1\Rightarrow Bantulmtiep\)
dùng bđt cô si vào phần giả thiết đã cho nhé bạn , mình đang bận không tiện làm . Nếu cần thì tối rảnh mình làm cho
Đặt \(x^2=p\left(0\le p\le1\right)\)
Ta có : \(P=\frac{p}{2-p}+\frac{1-p}{1+p}=-2+\frac{2}{2-p}+\frac{2}{1+p}\)
\(=-2+2\left(\frac{1}{2-p}+\frac{1}{1+p}\right)=2\left(\frac{3}{\left(2-p\right)\left(1+p\right)}-1\right)\)
\(=2\left(\frac{3}{2+p\left(1-p\right)}-1\right)\)
Do \(0\le p\le1\Rightarrow p\left(1-p\right)\ge0\) \(\Rightarrow P\le2\left(\frac{3}{2}-1\right)=1\) có MAX là 1
Ta có : \(p\left(1-p\right)\le\frac{\left(p+1-p\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge2\left(\frac{3}{2+\frac{1}{4}}-1\right)=\frac{2}{3}\)Có MIN là \(\frac{2}{3}\)
Bạn kia làm ra kết quả đúng nhưng cách làm thì tào lao nhưng vẫn ra ???
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
Tương tự:\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\frac{3}{2}\),\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}\)
Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta được:
\(P+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left(x+y+z\right)+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{3}{2}+\frac{6}{4}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2+x}=\frac{x}{2}=\frac{x+1}{4}\\\frac{1}{y^2+y}=\frac{y}{2}=\frac{y+1}{4}\\\frac{1}{z^2+z}=\frac{z}{2}=\frac{z+1}{4},x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+x+y+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) . Dấu "=" xảy ra khi a = b
Được : \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x^2+y^2=2xy\\x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy Min \(P=4\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
x+xy+y+1=9
(x+1)(y+1)=9
áp dụng bđt ab<=(a+b)^2/4
->9<=(x+y+2)^2/4 -> x+y >=4
....
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Câu hỏi của cai j vay - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!