Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giao lưu:
\(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge\left(1+nx\right)\end{matrix}\right.\)(I)
-khi n=0 ta có 1=1 vẫn đúng => đúng với mọi n là số không âm {sao đề loại n=0 đi nhỉ}
-với x>-1 => 1+x> 0
vói x=0 ta có 1^n>=1 hiển nhiên đúng
{Ta cần c/m với mọi x khác 0 và x>-1}
C/M: Bằng quy nạp
với n=1 ta có: (1+x)>=(1+x) hiển nhiên.
G/s: (I) đúng với n=k tức là (1+x)^k>=(1+kx)
Ta cần c/m (I) đúng với (k+1)
với n=(k+1) ta có \(\left(1+x\right)^{k+1}\ge\left[1+\left(k+1\right)x\right]\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+x\right)^k\ge1+kx+x\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+kx\right)\ge1+kx+x\)
\(\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x+kx^2\ge1+kx+x\Leftrightarrow kx^2\ge0\)(**)
Mọi phép biến đổi là tương đương (**) đúng => (*) đúng
=> dpcm.
Giao lưu:
\(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge1+nx\end{matrix}\right.\) (I)
\(x>-1\Rightarrow\left(1+x\right)>1\Rightarrow\left(1+x\right)^n>1voi\forall n\in N\)
với x=0 1^n>=1 luôn đúng ta cần c/m với x khác 0
\(\left\{\begin{matrix}n=1\Rightarrow\left(1+x\right)^1\ge\left(1+x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^2\ge\left(1+2x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^3\ge\left(1+3x\right)...\left\{dung\right\}\end{matrix}\right.\)
C/m bằng phản chứng:
Giả /sủ từ giá trị (k+1) nào đó ta có điều ngược lại (*)
Nghĩa là: khi n đủ lớn BĐT (I) không đúng nữa. và chỉ đúng đến (n=k)(**)
Như vậy coi (**) đúng và ta chứng minh (*) là sai .
với n=k ta có: \(\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\) (1) theo (*)
vói n=(k+1) ta có theo (**)
\(\left(1+x\right)^{k+1}\le\left[1+\left(k+1\right)x\right]\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+x\right)^k\le\left[1+kx+x\right]\)(2)
chia hai vế (2) cho [(1+x)>0 {do x>-1}] BĐT không đổi
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1+x\right)^k\le\frac{\left[\left(1+kx\right)+x\right]}{1+x}\) từ (1)=> \(\frac{1+kx+x}{x+1}\ge\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1+kx\right)+x}{x+1}\ge\left(1+kx\right)\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x\ge\left(1+kx\right)+x+kx^2\)(3)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow\left[\left(1+kx\right)+x\right]-\left[\left(1+kx\right)+x\right]\ge kx^2\)\(\Leftrightarrow0\ge kx^2\) (***)
{(***) đúng chỉ khi x=0 ta đang xét x khác 0} vậy (***) sai => (*) sai
ĐIều giả sử sai--> không tồn tại giá trị (k+1) --> làm BĐT đổi chiều:
=> đpcm
* Ta có u 1 = 9 1 − 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng với n = 1).
* Giả sử u k = 9 k − 1 chia hết cho 8.
Ta cần chứng minh u k + 1 = 9 k + 1 − 1 chia hết cho 8.
Thật vậy, ta có u k + 1 = 9 k + 1 − 1 = 9.9 k − 1 = 9 9 k − 1 + 8 = 9 u k + 8 .
Vì 9 u k và 8 đều chia hết cho 8, nên u k + 1 cũng chia hết cho 8.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì u n chia hết cho 8.
- Với \(n=4\Rightarrow3^3>4.6\) (đúng)
- Giả sử BĐT đã cho đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)
- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay: \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
Thật vậy, do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\), ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k=\left(k^2+4k+3\right)+\left(2k^2+2k-3\right)\)
\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+k+\left(k-3\right)>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)
\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=C_n^0+C_n^1.\dfrac{1}{n}+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=1+1+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}>2\)
Mặt khác:
\(C_n^k.\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!.n^k}=\dfrac{\left(n-k+1\right)\left(n-k+2\right)...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}< \dfrac{n.n...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{n^k}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{k!}\)
\(< \dfrac{1}{k\left(k-1\right)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\)
Do đó:
\(C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< 2+1=3\) (đpcm)
Đáp án là C. Ta có a,b∈N* không suy ra a -1, b -1∈N* . Do vậy không áp dụng được giả thiết quy nạp cho cặp {a -1, b -1}.
Chú ý: nêu bài toán trên đúng thì ta suy ra mọi số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này là vô lí.
Lời giải:
Dùng quy nạp:
-Với $n=1$ thì $(1+x)^n=1+x=1+nx$
-Với $n=2$ : có $(1+x)^2=1+2x+x^2\geq 1+2x$ do $x^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
.......................................
-Giả sử bài toán đúng đến $n=k$, ta cần CM $(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$
Ta có \((1+x)^{k+1}=(1+x)(1+x)^k\geq (1+x)(1+kx)=1+kx+x+kx^2\geq 1+kx+x=1+(k+1)x\) Do đó ta có đpcm