Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử đường tròn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left(x_0;y_0\right)\)
\(\Rightarrow\) Với mọi m ta luôn có:
\(x_0^2+y_0^2+\left(m+2\right)x_0-\left(m+4\right)y_0+m+1=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x_0-y_0+1\right)+\left(x_0^2+y_0^2+2x_0-4y_0+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-y_0+1=0\\x_0^2+y_0^2+2x_0-4y_0+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_0^2+\left(x_0+1\right)^2+2x_0-4\left(x_0+1\right)+1=0\)
\(\Rightarrow2x_0^2-2=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=1\Rightarrow y_0=2\\x_0=-1\Rightarrow y_0=0\end{matrix}\right.\)
Vậy đường tròn luôn đi qua 2 điểm cố định có tọa độ \(\left(1;2\right);\left(-1;0\right)\) với mọi m
a) Ta có \(I\left( {2; - 3} \right)\) và \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)} = 5\)
b) Ta có: \({5^2} + {1^2} - 4.5 + 6.1 - 12 = 0\). Suy ra M thuộc \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến d của (C) tại M có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {IM} = \left( {3;4} \right)\), đồng thời d đi qua điểm \(M\left( {5;1} \right)\).
Vậy phương trình của d là \(3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 19 = 0\).
Gọi A, B là hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C).
Mà điểm I là cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính R = 6 và có phương trình: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 36.
\(PT\left(C\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-7\right)^2=85\)
\(\Rightarrow\) Tâm \(I\left(-1;7\right)\) và bán kính là \(\sqrt{85}\)
PT tiếp tuyến qua \(M\left(1;-2\right)\Rightarrow x_0=1,y_0=-2\)
\(PT\) tiếp tuyến có dạng \(\left(a-x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y-y_0\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-1-1\right)\left(x-1\right)+\left(7+2\right)\left(y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-2\left(x-1\right)+9\left(y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-2x+2+9y+18=0\)
\(\Leftrightarrow-2x+9y+20=0\)
a) Phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 81\)
b) Bán kính đường tròn là: \(R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}} = \sqrt 2 \)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\)
c) Bán kính đường tròn là: \(R = \frac{{\left| {5.1 - 12.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{{13}}\)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{16}}{{13}}} \right)^2}\)
d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là trung điểm AB. Vậy tọa độ điểm I là: \(I\left( {1;1} \right)\)
Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {29} \)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 29\)
e) Giả sử tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)
Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2}\\{\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {0 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\) b
Vậy \(I\left( {2;3} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\)
a) x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25
⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.
Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.
b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:
(–1 – 2)2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 52= R2
⇒ A thuộc đường tròn (C)
⇒ tiếp tuyến (d’) cần tìm tiếp xúc với (C) tại A
⇒ (d’) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA
⇒ (d’) nhận 
là một vtpt và đi qua A(–1; 0)
⇒ phương trình (d’): 3(x + 1) – 4(y - 0)= 0 hay 3x – 4y + 3 = 0.
c) Gọi tiếp tuyến vuông góc với (d) : 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).
(d) có 
là một vtpt; 1 VTCP là ud→(4; 3)
(Δ) ⊥ (d) ⇒ (Δ) nhận 
là một vtpt
⇒ (Δ): 4x + 3y + c = 0.
(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R
Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.
1.
Ta có: \(m^2+\left(m-1\right)^2=2m^2-2m+1=\frac{1}{2}\left(2m-1\right)^2+\frac{1}{2}>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Với mọi m pt đã cho là pt đường tròn
2.
\(R=\sqrt{\frac{1}{2}\left(2m-1\right)^2+\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow R\ge\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(R_{min}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) khi \(m=\frac{1}{2}\)
3.
Đường tròn tâm \(I\left(x_I;y_I\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=m\\y_I=m-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_I-y_I=1\Leftrightarrow x_I-y_I-1=0\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp tâm I là đường thẳng có pt \(x-y-1=0\)
4.
Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm cố định mà đường tròn đi qua
\(\Rightarrow x^2+y^2-2mx-2my+2y=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2y-2m\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2y=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2y=0\\y=-x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+\left(-x\right)^2-2x=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=0\\x=1\Rightarrow y=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Đường tròn luôn đi qua 2 điểm cố định có tọa độ \(\left(0;0\right);\left(1;-1\right)\)
5.
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2mx-2\left(m-1\right)y=0\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2mx-2\left(m-1\right)y=0\\y=1-x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+\left(1-x\right)^2-2mx-2\left(m-1\right)\left(1-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-2x+1-2mx-\left(2m-2\right)\left(1-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4x-2m+3=0\)
\(\Delta'=4-2\left(-2m+3\right)=4m-2=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}\)