Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét pt hoành độ gđ của (P) và (d):
\(2x^2=mx+1\)
\(\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\) (1)
Có ac=2.(-1)=-2 => Pt (1) luôn có hai nghiệm pb trái dấu => (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm khác phía nhau so với trục tung.
Giả sử \(A\left(x_1;2x^2_1\right);B\left(x_2;2x^2_2\right)\) là hai gđ của (d) và (P) với x1;x2 là hai nghiệm của pt (1)
Giả sử x1<0<x2
Gọi A' ; B' là hình chiếu của A và B lên trục Ox
=>\(AA'=2x^2_1;BB'=2x^2_2\)
\(OA'=\left|x_1\right|=-x_1\) ; \(OB'=\left|x_2\right|=x_2\)
Có \(S_{OAB}=S_{A'ABB'}-S_{OAA'}-S_{OBB'}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3m}{2}=\dfrac{1}{2}.A'B'\left(AA'+BB'\right)-\dfrac{1}{2}.OA'.AA'-\dfrac{1}{2}.OB'.BB'\)
\(\Leftrightarrow3m=\left(-x_1+x_2\right)\left(2x^2_1+2x^2_2\right)+x_1.2x^2_1-x_2.2x^2_2\)
\(\Leftrightarrow3m=-2x_1^3-2x_1.x_2^2+2x_1^2.x_2+2x_2^3+2x_1^3-2x_2^3\)
\(\Leftrightarrow3m=2x_1x_2\left(x_1-x_2\right)\)
\(\Leftrightarrow3m=2.\left(-\dfrac{1}{2}\right).-\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\) (do x1<x2 =>x1-x2<0)
\(\Leftrightarrow3m=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)\(=\sqrt{\left(\dfrac{m}{2}\right)^2-4.\left(-\dfrac{1}{2}\right)}\)\(=\sqrt{\dfrac{m^2}{4}+2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\9m^2=\dfrac{m^2}{4}+2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m^2=\dfrac{8}{35}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m=\dfrac{2\sqrt{70}}{35}\)
Vậy...
(Bạn kiểm tra lại xem, có thể mk sẽ tính nhầm nhưng dạng làm vẫn như thế)
Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-mx+m-1=0\)
\(a+b+c=0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)
Để pt có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow m-1\ne1\Rightarrow m\ne2\)
Do hiển nhiên \(1< 2\) nên \(x_1< x_2< 2\Rightarrow m-1< 2\)
\(\Rightarrow m< 3\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ne2\\m< 3\end{matrix}\right.\)
a (tóm tắt lại): Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
\(x^2=mx-m+1\)
\(\Leftrightarrow x^2-mx+m-1=0\left(1\right)\)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt. Do đó \(\Delta>0\Leftrightarrow m\ne2\).
b) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)
Do đó phương trình (1) có 2 nghiệm là x=1 và x=m-1. Mặt khác phương trình (1) cũng có 2 nghiệm phân biệt là x1, x2 và vai trò của x1, x2 trong biểu thức A là như nhau nên ta giả sử \(x_1=1;x_2=m-1\left(m\ne2\right)\)
Từ đây ta có:
\(A=\dfrac{2.1.\left(m-1\right)}{1^2+\left(m-1\right)^2+2\left[1+1.\left(m-1\right)\right]}\)
\(=\dfrac{2\left(m-1\right)}{1+\left(m-1\right)^2+2+2\left(m-1\right)}\)
\(=\dfrac{2\left(m-1\right)}{1+\left(m^2-2m+1\right)+2+2m-2}=2.\dfrac{m-1}{m^2+2}\)
\(\Rightarrow A\left(m^2+2\right)=2\left(m-1\right)\)
\(\Leftrightarrow Am^2-2m+2\left(A+1\right)=0\left(2\right)\)
Coi phương trình (2) là phương trình bậc 2 tham số A ẩn x, ta có:
\(\Delta'\left(2\right)=1^2-2A\left(A+1\right)=-2\left(A^2+A\right)+1=-2\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\)
Để phương trình (2) có nghiệm thì \(\Delta'\left(2\right)\ge0\Rightarrow-2\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le A+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\le A\le\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)
Để phương trình (2) có nghiệm kép thì: \(\Delta'\left(2\right)=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{A}\)
\(MinA=-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\Leftrightarrow\Delta'\left(2\right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}\dfrac{1}{-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}}=1-\sqrt{3}\)
\(MaxA=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\Leftrightarrow\Delta'\left(2\right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}}=\sqrt{3}+1\)
Mình mới sửa một chút nhé.
\(\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{3}{4}\) \(\Leftrightarrow\left|A+\dfrac{1}{2}\right|\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}A+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\A+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\le A+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Nếu gặp dạng \(a^2\le b\) (b là số dương) thì a sẽ bé hơn b và lớn hơn số đối của b, nói chung a nằm trong khoảng từ -b đến b.
Ví dụ: \(a^2\le4\Leftrightarrow\left|a\right|\le2\Leftrightarrow-2\le a\le2\)
a) Thay x=4 vào (P), ta được:
\(y=\dfrac{4^2}{2}=\dfrac{16}{2}=8\)
Thay x=4 và y=8 vào (d), ta được:
\(m\cdot4-m+2=8\)
\(\Leftrightarrow3m=6\)
hay m=2
Vậy: m=2
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(\dfrac{x^2}{2}=mx-m+2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-mx+m-2=0\)
\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(m-2\right)\)
\(=m^2-2\left(m-2\right)\)
\(=m^2-2m+4\)
\(=m^2-2m+1+3\)
\(=\left(m-1\right)^2+3>0\forall m\)
Do đó: (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt(Đpcm)
a: PTHĐGĐ là;
-1/4x^2-mx+m+2=0
=>1/4x^2+mx-m-2=0
=>x^2+4mx-4m-8=0
\(\text{Δ}=\left(4m\right)^2-4\left(-4m-8\right)\)
\(=16m^2+16m+32\)
\(=16m^2+2\cdot4m\cdot2+4+28=\left(4m+2\right)^2+28>0\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b: \(A=x_1\cdot x_2\left(x_1+x_2\right)\)
\(=4m\left(4m+8\right)\)
\(=\left(16m^2+32m+16-16\right)\)
\(=\left(4m+4\right)^2-16>=-16\)
Dấu = xảy ra khi m=-1
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:
$2x^2-mx-1=0(*)$
$\Delta=m^2+8>0$ với mọi $m$ đồng nghĩa $(P)$ và $(d)$ luôn cắt nhau tại 2 điểm $A,B$ phân biệt với mọi $m$
Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=\frac{m}{2}\\ x_Ax_B=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Khoảng cách từ $O$ đến $AB$ là:
$\frac{|m.0+1-0|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}$
$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$
$=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(mx_A+1-mx_B-1)^2}$
$=\sqrt{(x_A-x_B)^2(m^2+1)}$
$=\sqrt{(x_A+x_B)^2-4x_Ax_B}.\sqrt{m^2+1}$
$=\sqrt{\frac{m^2}{4}+2}.\sqrt{m^2+1}$
$S_{OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m^2}{4}+2}.\sqrt{m^2+1}.\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{3m}{2}$
$m=\pm \sqrt{\frac{8}{35}}$