![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, \(\left(5n+2\right)^2-4=\left(5n+2-2\right)\left(5n+2+2\right)=5n\left(5n+4\right)⋮5\)
b, \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Vì (n-1)n(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp
=>(n-1)n(n+1) chia hết cho 6 hay n^3-n chia hết cho 6
c, \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\Rightarrow a^3+b^3-3abc=-c^3\)
=>a^3+b^3+c^3=3abc
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: \(=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\)
Vì đây là 5 số liên tiếp
nên A chia hết cho 5!
=>A chia hết cho 120
b: \(B=n^2\left(n-3\right)-\left(n-3\right)=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(=\left(2k+1-3\right)\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\)
\(=\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\cdot2k\)
\(=8k\left(k-1\right)\left(k+1\right)⋮48\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài làm :
\(a\text{)}\left(n^3-n\right)=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp ⋮ 6 nên : n3 - n ⋮ 6
=> Điều phải chứng minh
\(b\text{)}n^5-m=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì :
- n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là tích 5 số liên tiếp nên n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) ⋮ 5
- 5n(n-1)(n+1) ⋮ 5
=> (n5-n) ⋮5
=> Điều phải chứng minh
\(\text{c)}n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)=n\text{[}n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\text{]}=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\text{Vì : }n-2;n-1;n;n+1;n+2\text{là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3,5,8}\)
Mà 3,5,8 nguyên tố cùng nhau nên :
\(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3.5.8=120\) \(\)
=> Điều phải chứng minh
a) n3 - n = n( n2 - 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )
Ta có n( n - 1 ) là hai số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)
n( n - 1 )( n + 1 ) là ba số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 6 hay n3 - n chia hết cho 6 ( đpcm )
b) n5 - n = n( n4 - 1 ) = n( n2 - 1 )( n2 + 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n2 + 1 )
= n( n - 1 )( n + 1 )[ ( n2 - 4 ) + 5 ]
= n( n - 1 )( n + 1 )( n2 - 4 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )
= n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )
n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (1)
5n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
c) n5 - 5n3 + 4n = n( n4 - 5n2 + 4 )
Xét n4 - 5n2 + 4 (*)
Đặt t = n2
(*) <=> t2 - 5t + 4 = t2 - t - 4t + 4 = t( t - 1 ) - 4( t - 1 ) = ( t - 1 )( t - 4 ) = ( n2 - 1 )( n2 - 4 )
=> n( n4 - 5n2 + 4 ) = n( n2 - 1 )( n2 - 4 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 )
n( n - 1 ) là tích của hai số nguyên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)
n( n - 1 )( n + 1 ) là tích của 3 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)
n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 ) là tích của 4 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 4 (3)
n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) => đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
(5n - 2)2 - (2n - 5)2
= 25n2 - 20n + 4 - 4n2 + 20n - 25
= 21n2 - 21
= 21(n2 - 1) \(⋮\) 21 (đpcm)
Mình nhanh nhất, chọn mình nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
(3n-5)(2n+1)+7(n-1)=6n2-7n-5+7n-7
=6n2-12
=3(2n-4)
=>(3n-5)(2n+1)+7(n-1) chia hết cho 3, với mọi n
(n-4)(5n+3)-(n+1)(5n-2)+4=5n2-17n-12-(5n2+3n-2)
=5n2-17n-12-5n2-3n+2
=-20n-10
=5(-4n-2)
=>(n-4)(5n+3)-(n+1)(5n-2)+4 chia hết cho 5, với mọi n
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Sử dụng định lí Fermat nhỏ: Với mọi \(n\inℕ\), \(p\ge2\)là số nguyên tố. Ta luôn có \(n^p-n⋮7\)
Dễ thấy 7 là số nguyên tố. Do đó \(n^7-n⋮7\)
Có thể sự dụng pp quy nạp toán học hay biến đổi đẳng thức rồi sử dụng pp xét từng giá trị tại 7k+n với 7>n>0
b)Ta có: \(2n^3+3n^2+n=2n^3+2n^2+n^2+n\)
\(=n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)
Ta thấy n(n+1) chia hết 2. Chỉ cần chứng minh thêm đằng thức trên chia hết cho 3
Đặt n=3k+1 và n=3k+2. Tự thế vài và CM
c) Tương tự: \(n^5-5n^3+4n=n^3\left(n^2-1\right)-4n\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^3-4n\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\left(n^2-4\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)
Sắp xếp lại cho trật tự: \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Dễ thấy đẳng thức trên chia hết cho 5
Mà ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)
Và \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮4\)
Và tích của hai số bất kì cũng chia hết cho 2
Vậy đẳng thức trên chia hết cho 3.4.2.5=120
Cậu cuối bn chứng minh cách tương tự. :)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(5n-1\right)\left(n+3\right)-9n+3=5n^2+15n-n-3-9n+3=5n^2+5n=5n\left(n+1\right)⋮5\)
Mà n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp => \(n\left(n+1\right)⋮2\)
\(\Rightarrow5n\left(n+1\right)⋮5.2=10\) (đpcm)
\(\left(5n-1\right)\left(n+3\right)-9n+3\)
\(=5n^2+15n-n-3-9n+3\)
\(=5n^2+5n=5n\left(n+1\right)⋮5\)
Lại có \(n\left(n+1\right)⋮2\)
\(\Rightarrow5n^2+5n⋮\left(2.5\right)=10\)
\(\RightarrowĐPCM\)