Question

[Thanh Bách]

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh n⁴ + 4ⁿ là hợp số.

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Vì n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên sảy ra hai trường hợp

Th1: n là số chắn  => n⁴ + 4ⁿ  là , hợp số.

Th2: n số lẻ  => n = 2k + 1

Thì n⁴ + 4ⁿ  = n⁴ + 4^{2k + 1} = (n² + 2^{2k + 1})² - n².2^{2k + 2} = (n² + 2^{2k + 1} + n.2^{k + 1} )  (n² + 2^{2k + 1} - n.2^{k + 1} ) 

Ta có : n² + 2^{2k + 1 \(\ge2.n.2\frac{2k+1}{2}=n.2^{k+1}\)}

Mà n là số lẻ và lờn hơn 1 nên n² + 2^{2k + 1} - n.2^{k + 1} > 1

Vậy n⁴ + 4ⁿ là hợp số 

Answer 2

[OoO_Nhok_Lạnh_Lùng_OoO]

Có 2 trường hợp:

Th 1: \(n\)chẵn suy ra đương nhiên \(n^4+n^4\)là hợp số 

Th 2: \(n\)lẻ suy ra \(n=2k+1\)

Suy ra:

\(n^4+n^4=n^4+n^{2n}=n^4+2.2^n+2^{2n}-2.2^n=\left(n^2+2^n\right)^2-2.2^{2k+1}=\left(n^2+2^n\right)^2-\left(2^k+1\right)^2\)

\(=\left(n^2+2^n-2^{k+1}\right)\left(n^2+2^n+2^{k+1}\right)\)

Suy ra là tích của 2 số nên nó là hợp số