Question

[Nguyen Quỳnh Chi]

Cho một hình ngũ giác. Có ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ cắt nhau tại ba điểm A, B, C thuộc miền trong ngũ giác sao cho mỗi đường thẳng chia ngũ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng diện tích \(\Delta\)ABC nhỏ hơn \(\dfrac{1}{4}\) diện tích ngũ giác đã cho

Answer 1

[Nguyen Bao Linh]

Giải

Ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ cắt nhau tại ba điểm A, B, C chia ngũ giác thành bảy phần với các diện tích được ký hiệu như trên hình

Ta thấy:

S₃ + S₂ + S₇ = \(\dfrac{1}{2}\)S

= S₁ + S₂ + S₇ + S₆

S₃ = S₁ + S₆ (1)

Ta cũng có:

\(\dfrac{1}{2}\)S = S₁ + S₂ + S₃ + S_{4 (2)}

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\dfrac{1}{2}\)S = 2S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₆ > 2S₁

Tức là S₁ < \(\dfrac{1}{4}\)S