K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

15 tháng 12 2018

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(4a+4b\right)=a+b\)

Ta chứng minh: \(3\left(a+b\right)^2+4ab\ge2\left(a+b\right)\)

hay \(3\left(a+b\right)^2+4ab\ge2\left(a+b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\sqrt{ab}\right)^2\ge0\)( đúng)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\)

DD
26 tháng 5 2022

Ta có: 

\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)

\(=a+b+2\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).

 

Bìa 1: Gải các hệ phương trình: a) \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=3\\3x-4y=2\end{matrix}\right.\) b)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1\\5x-8y=3\end{matrix}\right.\) Bài 2: Gải các hệ phương trình: a) \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=4\\\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=5\end{matrix}\right.\) b) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\\left(x-3\right)\left(y+3\right)=xy-3\end{matrix}\right.\) Bài 3: Gải các...
Đọc tiếp

Bìa 1: Gải các hệ phương trình:

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=3\\3x-4y=2\end{matrix}\right.\) b)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=1\\5x-8y=3\end{matrix}\right.\)

Bài 2: Gải các hệ phương trình:

a) \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=4\\\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=5\end{matrix}\right.\) b) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\\left(x-3\right)\left(y+3\right)=xy-3\end{matrix}\right.\)

Bài 3: Gải các hệ phương trình:

a) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{2y-1}=2\\\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{2y-1}=1\end{matrix}\right.\) b) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x-2y}=\dfrac{5}{8}\\\dfrac{1}{2x+y}-\dfrac{1}{x-2y}=\dfrac{3}{8}\end{matrix}\right.\)

c)\(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+2\sqrt{y}=13\\2\sqrt{x-1}-\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\) d) \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-1\right|+\left|y+2\right|=2\\4\left|x-1\right|+3\left|y+2\right|=7\end{matrix}\right.\)

Bài 4: Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\left(3a-2\right)x+2\left(2b+1\right)y=30\\\left(a+2\right)x-2\left(3b-1\right)y=-20\end{matrix}\right.\) Tìm các giá trị của a,b để hệ phương trình có nghiệm (3;-1)

cảm ơn mn trước ạ ! hehe

2
12 tháng 1 2019

3a)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{2y-1}=2\\\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{2y-1}=1\end{matrix}\right.\) (ĐK: x≠2;y≠\(\dfrac{1}{2}\))

Đặt \(\dfrac{1}{x-2}=a;\dfrac{1}{2y-1}=b\) (ĐK: a>0; b>0)

Hệ phương trình đã cho trở thành

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\2a-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\2\left(2-b\right)-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\4-2b-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\b=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{7}{5}\left(TM\text{Đ}K\right)\\b=\dfrac{3}{5}\left(TM\text{Đ}K\right)\end{matrix}\right.\) Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{2y-1}=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7\left(x-2\right)=5\\3\left(2y-1\right)=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x-14=5\\6y-3=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{19}{7}\left(TM\text{Đ}K\right)\\y=\dfrac{4}{3}\left(TM\text{Đ}K\right)\end{matrix}\right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=\(\left(\dfrac{19}{7};\dfrac{4}{3}\right)\)

b) Bạn làm tương tự như câu a kết quả là (x;y)=\(\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{-14}{5}\right)\)

c)\(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+2\sqrt{y}=13\\2\sqrt{x-1}-\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\)(ĐK: x≥1;y≥0)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+2\sqrt{y}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+4\sqrt{x-1}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7\sqrt{x-1}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}49\left(x-1\right)=169\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}49x-49=169\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{218}{49}\\y=\dfrac{4}{49}\end{matrix}\right.\left(TM\text{Đ}K\right)\)

31 tháng 12 2022

Bài 4:

Theo đề, ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}3\left(3a-2\right)-2\left(2b+1\right)=30\\3\left(a+2\right)+2\left(3b-1\right)=-20\end{matrix}\right.\)

=>9a-6-4b-2=30 và 3a+6+6b-2=-20

=>9a-4b=38 và 3a+6b=-20+2-6=-24

=>a=2; b=-5

Bài 2:

a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x+y-3x-3y=5\\3x-3y+5x+5y=-2\end{matrix}\right.\)

=>-4x-2y=3 và 8x+2y=-2

=>x=1/4; y=-2

b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{y-1}=1\\\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{y-1}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=5\\\dfrac{1}{x-2}=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

=>y=6 và x-2=5/4

=>x=13/4; y=6

c: =>x+y=24 và 3x+y=78

=>-2x=-54 và x+y=24

=>x=27; y=-3

d: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-1}-6\sqrt{y+2}=4\\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-11\sqrt{y+2}=-11\\\sqrt{x-1}=2+3\cdot1=5\end{matrix}\right.\)

=>y+2=1 và x-1=25

=>x=26; y=-1

4 tháng 3 2020

\(\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)\le\left(\frac{4a+4b}{2}\right)^2=\left(2a+2b\right)^2\)

=>\(\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\le\frac{1}{2}\left(2a+2b\right)=a+b\)

Mình làm phần dễ nhất rồi, còn lại của bạn đó ^^


 

6 tháng 4 2020

Đặt . Do đó . Cần chứng minh:

Or $3(x^2+y^2)^2 -(x^2+y^2)+4x^2 y^2 \geqq \frac{1}{2} \sqrt{3(x^4+y^4)+10x^2 y^2} $

Bình phương 2 vế và xét hiệu, ta cần chứng minh:

$ \left( 1/4-xy \right) \left( 256\, \left( 1/4-xy \right) ^{3}+64\,
 \left( 1/4-xy \right) ^{2}+5-16\,xy \right)\geqq 0$

Đó là điều hiển nhiên vì: $xy \leqq 1/4 (x+y)^2 =1/4$

Done.

1. a) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z0\\xyz=1\end{matrix}\right.\). Tìm max \(P=\frac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^5-y^2+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^5-z^2+zx+6}}\) b) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z0\\xyz=8\end{matrix}\right.\). Min \(P=\frac{x^2}{\sqrt{\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{\left(1+y^3\right)\left(1+z^3\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{\left(1+z^3\right)\left(1+x^3\right)}}\) c) \(x,y,z0.\) Min...
Đọc tiếp

1. a) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\). Tìm max \(P=\frac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^5-y^2+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^5-z^2+zx+6}}\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=8\end{matrix}\right.\). Min \(P=\frac{x^2}{\sqrt{\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{\left(1+y^3\right)\left(1+z^3\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{\left(1+z^3\right)\left(1+x^3\right)}}\)

c) \(x,y,z>0.\) Min \(P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}+\sqrt{\frac{y^3}{y^3+\left(z+x\right)^3}}+\sqrt{\frac{z^3}{z^3+\left(x+y\right)^3}}\)

d) \(a,b,c>0;a^2+b^2+c^2+abc=4.Cmr:2a+b+c\le\frac{9}{2}\)

e) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\frac{a}{b^3+ab}+\frac{b}{c^3+bc}+\frac{c}{a^3+ca}\ge\frac{3}{2}\)

f) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca+abc=4\end{matrix}\right.\) Cmr: \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le3\)

g) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca+abc=2\end{matrix}\right.\) Max : \(Q=\frac{a+1}{a^2+2a+2}+\frac{b+1}{b^2+2b+2}+\frac{c+1}{c^2+2c+2}\)

3
26 tháng 4 2020

Câu 1 chuyên phan bội châu

câu c hà nội

câu g khoa học tự nhiên

câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ

câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)

Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !

25 tháng 4 2020

Câu c quen thuộc, chém trước:

Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)

Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)

\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)

Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Done.

NV
11 tháng 2 2020

Mới nghĩ ra 3 câu:

a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)

\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)

\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)

c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)

\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)

d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)

11 tháng 2 2020

Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm

Mn giúp e vs ạ! Thanks!

a: \(\left\{{}\begin{matrix}4\sqrt{5}-y=3\sqrt{2}\\10x+\sqrt{2}\cdot y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\\10x+\sqrt{2}\left(4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\\10x=-1-4\sqrt{10}+6=5-4\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=4\sqrt{5}-3\sqrt{2}\\x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\end{matrix}\right.\)

b: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{4}x+\dfrac{2}{5}y=2,3\\x-\dfrac{3}{5}y=0,8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{9}{4}x+\dfrac{6}{5}y=6,9\\2x-\dfrac{6}{5}y=1,6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{17}{4}x=8,5\\x-0,6y=0,8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=8,5:\dfrac{17}{4}=8,5\cdot\dfrac{4}{17}=2\\0,6y=x-0,8=2-0,8=1,2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\)

c: ĐKXĐ: y>2

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-1\right|-\dfrac{3}{\sqrt{y-2}}=-1\\2\left|1-x\right|+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left|x-1\right|-\dfrac{6}{\sqrt{y-2}}=-2\\2\left|x-1\right|+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{7}{\sqrt{y-2}}=-7\\2\left|1-x\right|+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y-2}=1\\2\left|x-1\right|=5-1=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-2=1\\\left|x-1\right|=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x-1\in\left\{2;-2\right\}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x\in\left\{3;-1\right\}\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)