Question

[GHT]

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M. Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt đường thẳng CD tại N.

a. Chứng minh AM=AN.

b. Gọi gia điểm của đường thẳng AM với đường thẳng CD là I. Chứng minh \(\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{AB^2}\)

Giúp mình nha!

Answer 1

[bach nhac lam]

a) + ΔABM = ΔADN ( g.c.g )

=> AM = AN

b) + ΔANI vuông tại A, đg cao AD

\(\Rightarrow\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AN^2}+\frac{1}{AI^2}\) ( theo hệ thức lượng trog Δ vuông )

\(\Rightarrow\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:
a)

Xét tam giác $AND$ và $AMB$ có:

\(\widehat{ADN}=\widehat{ABM}=90^0\)

\(\widehat{DAN}=\widehat{BAM}(=90^0-\widehat{DAM})\)

\(\Rightarrow \triangle AND\sim \triangle AMB(g.g)\Rightarrow \frac{AN}{AM}=\frac{AD}{AB}=1\) (do $ABCD$ là hình vuông nên $AB=AD$)

\(\Rightarrow AM=AN\) (đpcm)

b)

Ta thấy $MC\parallel AD$ nên áp dụng định lý Ta-let:

\(\frac{AM}{AI}=\frac{CD}{DI}\Rightarrow AM=\frac{AI.CD}{DI}\)

Từ đây kết hợp với điều kiện $AB=AD=CD$ và định lý Pitago ta có:

\(\Rightarrow \frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{DI^2}{AI^2.CD^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{DI^2+CD^2}{AI^2.CD^2}=\frac{DI^2+AD^2}{AI^2.AB^2}=\frac{AI^2}{AI^2.AB^2}=\frac{1}{AB^2}\) (đpcm)