Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình không thể giải được, có cách giải quyết là cậu chứng minh 2 điểm đó nằm trong 2 tam giác nội tiếp đường tròn thì sẽ thuộc đường tròn
1) +) Xét đường tròn (AD): ^AED = ^AFD = 900 (Các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: BD2 = BE.BA; CD2 = CF.CA => (BD.CD)2 = AB.AC.BE.CF
Hay AD4 = AD.BC.BE.CF => AD3 = BC.BE.CF => \(\frac{AD^3}{BE.CF}=BC=2R\)
+) Chứng minh H,E,F thẳng hàng ?
Ta có: AE.AB = AF.AC (=AD2) => Tứ giác BEFC nội tiếp => ^CBE = ^AFE = ^EGH (Do tứ giác AGEF nội tiếp)
=> Tứ giác BEGH nội tiếp => ^GEH = ^GBH = ^GAF. Mà ^GAF + ^GEF = 1800
Nên ^GEH + ^GEF = 1800 => 3 điểm H,E,F thẳng hàng (đpcm).
2) Ta thấy tứ giác BEGH và BEFC nội tiếp => AG.AH = AE.AB = AF.AC => Tứ giác GFCH nội tiếp
Theo ĐL Ptolemy cho tứ giác GFCH nội tiếp: FG.CH + GH.CF = CG.HF (đpcm).
3) Gọi S,T lần lượt là hình chiếu của N,P trên BC.
Xét đường tròn (P) có: ^ACM = 1/2.Sđ(AM = 900 - ^PMA => ^PMA = 900 - ^ACB.
Tương tự: ^NMA = 900 - ^ABC. Suy ra: ^PMA + ^NMA = 1800 - (^ABC + ^ACB) = 900 => ^PMN = 900
Từu đó dễ có: \(\Delta\)NSM ~ \(\Delta\)MTP (g.g) => NS.PT = MS.MT (*)
Xét \(\Delta\)MNP: ^PMN = 900 => \(S_{MNP}=\frac{MN.MP}{2}=\frac{\sqrt{\left(NS^2+MS^2\right)\left(PT^2+MT^2\right)}}{2}\)(ĐL Pytagore)
Áp dụng BĐT Bunhiacopsky: \(S_{MNP}\ge\frac{NS.PT+MS.MT}{2}=MS.MT=\frac{1}{4}BM.CM\)(Dựa vào (*) )
Vậy Min SMNP = 1/4.BM.CM = const (Vì M cố định). Đạt được khi A là trung điểm cung BC.