Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho hình vuông ABCD,lấy điểm E thuộc CD.Tia phân giác góc BAE cắt BC tại M.Chứng minh AM \(\le\)2ME.
a. \(\widehat{AOE}=90^0-\widehat{BOE}=\widehat{BOM}\)
\(\Rightarrow\)△AOE=△BOM (g-c-g). \(\Rightarrow AE=BM;BE=CM\).
△MCN có: CN//AB \(\Rightarrow\dfrac{MN}{AM}=\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{BE}{AE}\Rightarrow\)ME//NB.
a) Xét tam giác MBC và NCD có:
\(\widehat{MBC}=\widehat{NCD}=90^o\)
MB = NC
BC = CD
\(\Rightarrow\Delta MBC=\Delta NCD\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MCB}=\widehat{NDC}\Rightarrow\widehat{MCB}+\widehat{INC}=\widehat{NDC}+\widehat{INC}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CIN}=180^o-90^o=90^o\Rightarrow MC\perp ND\)
b) Gọi giao điểm của AE và DN là J.
Xét tứ giác AMCE có AM song song và bằng EC nên AMCE là hình bình hành.
Vậy thì AE // MC \(\Rightarrow AE\perp DN\)
Xét tam giác vuoong DIC có IE là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên EI = ED.
Xét tam giác cân EDI có EJ là đường cao nên nó cũng là phân giác \(\Rightarrow\widehat{DEA}=\widehat{IEA}\)
Vậy thì \(\Delta ADE=\Delta AIE\left(c-g-c\right)\Rightarrow AD=AI\Rightarrow AB=AI\)
c) Coi độ dài cạnh hình vuông là 1. Ta có :
\(MD=\sqrt{1^2+0,5^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
Kéo dài DM cắt BC tại H.Ta có DH = 2DM, HB = BC
Xét tam giác DHC, áp dụng tính chất đường phân giác trong, ta có:
\(\frac{KC}{KH}=\frac{DC}{DM}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
Lại có \(KC+KH=CH=2\Rightarrow HK=2-KC\)
\(\Rightarrow2-KC=\sqrt{5}KC\Rightarrow KC=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\)
Suy ra \(KC+AM=\frac{2}{\sqrt{5}+1}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}=MD\)
Vạy MD = KC + AM
b: Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AP cắt BC tại N
Xét ΔABN và ΔADP có
góc B=góc D=90 độ
góc BAN=góc DAP
=>ΔABN đồng dạng với ΔADP
=>AB/AD=AN/AP=1/3
=>AN=1/3AP
ΔANM vuông tại N có AB là đường cao
nen 1/AB^2=1/AM^2+1/AN^2=1/AM^2+9/AP^2
Bài làm
Ta có Qua E kẻ đường thẳng với AB cắt AD tại H.
a)Ta có DAEˆ+FADˆ=90o
Xét trong tam giác vuông tại H(do EH//AB=>HE vuông góc với AD)
Có DAEˆ=AEHˆ=90o
=>AEHˆ=FADˆ.
Xét tam giác HAE và tam giác DFA có:
HE=AD(do HE=AB(c/m dễ dàng))
ADFˆ=EHAˆ=90o
AEHˆ=FADˆ(c/m trên)
=>Tam giác HAE=Tam giác DFA(cạnh huyền-góc nhọn)
=>AE=FA.
Ta có AE=FA=>Tam giác AFE vuông cân tại A
=>AI vừa là trung tuyến cũng vừa là đường vuông góc! xuất phát từ đỉnh.
Từ đây =>FE vuông góc với GK kết hợp với IF=IE,AE//DC(do AB//DC)
Dễ dàng chứng mình được AEKF là hình thoi.
b)Xem lại đề nhé AEF không thể đồng dạng với CAF do CFAˆ=AFEˆ+EFCˆ.
Ta có AC là đường chéo nên cũng là Phân giác của góc đó luôn.
Nên ta có DAKˆ+KACˆ=45o
Ta cũng có AK là phân giác trong tam giác vuông cân tại đỉnh A.
=>KACˆ+CAEˆ=45o
=>CAEˆ=DAKˆ.
Ta xét trong tam giác vuông ADK tại D.
Có AKDˆ+DAKˆ=90o
MÀ FACˆ+EACˆ=90o
hay FACˆ+DAKˆ=90o
=>FACˆ=AKDˆ
Xét hai tam giác AFK và tam giác CFA có:
AFCˆ chung
FACˆ=AKDˆ(c/m trên)
=>Tam giác AFK đồng dạng với tam giác CFA
=>AFFK=CFAF
=>AF2=CF.FK
Học ~ Giỏi