Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Qua điểm M, kẻ đoạn thẳng HK vuông góc với AB và CD (H thuộc AB và K thuộc CD)
=> AHKD và HBCK là hcn
=> AH = DK và HB = KC
ABCD là hv \(\Rightarrow BM+MD=BD=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}\)
\(\Delta HAM\) vuông tại H \(\Rightarrow MA^2=AH^2+HM^2\left(ptg\right)=DK^2+HM^2\)
\(\Delta HBM\) vuông tại H \(\Rightarrow MB^2=HM^2+HB^2\left(ptg\right)\)
\(\Delta KMD\) vuông tại K \(\Rightarrow MD^2=KM^2+KD^2\left(ptg\right)\)
\(\Delta KMC\) vuông tại K \(\Rightarrow MC^2=KC^2+MK^2\left(ptg\right)=HB^2+MK^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz, ta có:
\(\left(1+1\right)\left(MB^2+MD^2\right)\ge\left(MB+MD\right)^2\)
\(\Rightarrow MB^2+MD^2\ge\dfrac{\left(MB+MD\right)^2}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{2}=1\)
Ta có:
\(MA^2+MD^2+MB^2+MC^2\)
\(=\left(DK^2+HM^2\right)+\left(HM^2+HB^2\right)+\left(KM^2+KD^2\right)+\left(HB^2+MK^2\right)\)
\(=2\left(DK^2+KM^2\right)+2\left(HM^2+HB^2\right)\)
\(=2\left(MD^2+MB^2\right)\)
\(\ge2\left(\text{đ}pcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(MA=MB=MC=MD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bạn hỏi tự vẽ hình nhá
a) Kẻ \(ME\perp AD,MF\perp BC,MG\perp AB,MH\perp CD\)
\(MA^2+MC^2=MB^2+MD^2\)( cùng bằng \(ME^2+MG^2+MF^2+MH^2\))
b) Chứng mih tương tự=>kết quả không đổi.
Ta có: \(MA^2+MC^2=MB^2+MD^2\)(cùng bằng \(ME^2=AE^2+MF^2+CF^2\))
Vậy khi điểm M nằm ngoài hình chữ nhật ABCD thì đẳng thức ở câu a) vẫn đúng.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Trên AM lấy điểm E sao cho ME = MB
Có : góc BME = góc BCA = 60 độ
=> tam giác EMB đều => EB = MB và góc EMB = 60 độ
Góc EMB = 60 độ => góc EBC + góc CBM = 60 độ
Lại có : góc ABC = 60 độ nên góc ABE + góc EBC = 60 độ
=> góc ABE = góc CBM
=> tam giác AEB = tam giác CMB (c.g.c)
=> AE = CM
=> AM = AE + EM = CM+BM
b, Theo câu a có tam giác AEB = tam giác CMB
=> góc EAB = góc MCB
=> tam giác MDC đồng dạng tam giác MBA (g.g)
=> MC/MA = MD/MB
=> MD.MA=MB.MC
Có : MD/MB + MD/MC = MD.(1/MB + 1/MC) = MD.(MB+MC)/MB.MC = MD/MA/MB.MC = 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a/ Áp dụng BĐT ba điểm :
\(AM+MB\ge AB\) ; \(BM+MC\ge BC\); \(CM+MD\ge CD\) ; \(DM+MA\ge DA\)
Cộng theo vế : \(2\left(MA+MB+MC+MD\right)\ge AB+BC+CD+DA\)
\(\Leftrightarrow MA+MB+MC+MD\ge\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD
b/ Ta cũng áp dụng BĐT ba điểm :
\(AM+MC\ge AC\) ; \(BM+MD\ge BD\)
Cộng theo vế : \(MA+MB+MC+MD\ge AC+BD\)
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
(mình chỉ ghi gợi ý rồi bn tự làm nha)
a, gBMD nội tiếp đường tròn=> gBMD =90 độ
ABCD là hình vuông => gDOC = 90 độ
=> tứ giác ODME nội tiếp => gODM + gOEM = 180 độ
mà gOEM = gBEC => dpcm
b,gABM nội tiếp chắn cung AM
gACM nội tiếp chắn cung AM => gABM = gECM
gAMB nội tiếp chắn cung AB
gBMC nội tiếp chắn cung BC
mà cung AB = cung BC ( AB = BC )
=>gAMB = gEMC
=> hai tam giác đồng dạng vì có hai góc bằng nhau
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét (O;R) có:
\(\widehat{BCD}\)là góc nt chắn cung BC
\(\widehat{BAC}\)là góc nt chắn cung BC
\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{BAC}=sđ\widebat{BC}\)
Vì dây \(AB\perp CD\)tại M nên \(\widehat{M}=90^o\)
Xét \(\Delta ACM\)và \(\Delta DBM\):
\(\hept{\begin{cases}\widehat{AMC}=\widehat{DMB}=90^o\\\widehat{BAC}=\widehat{BCD}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta ACM\infty\Delta DBM\left(gg\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{DM}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow AM.MB=MC.DM\)
b) Vì \(\Delta ACM\infty DBM\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{DBM}\)
Xét \(\left(O;R\right):\)
\(\Delta CDE\)nt (O), cạnh DE là đường kính\(\Rightarrow\Delta CDE\)vuông tại C\(\Rightarrow CD\perp CE\Rightarrow\widehat{DCE}=90^o\)
\(\Delta BDE\)nt \(\left(O\right),\)cạnh DE là đường kính\(\Rightarrow\Delta BDE\)vuông tại B\(\Rightarrow\widehat{DBE}=90^o\)
Có\(\widehat{MAC}+\widehat{ACM}=90^o\Rightarrow\widehat{MAC}=90^o-\widehat{ACM}\)
Và \(\widehat{ABE}+\widehat{DBM}=90^o\Rightarrow\widehat{ABE}=90^o-\widehat{DBM}\)
Mà \(\widehat{ACM}=\widehat{DBM}\)\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{ABE}\)
Do \(AB\perp CD,CD\perp CE\Rightarrow AB//CE\)
Xét tg ABCE có:
\(AB//CE\)
\(\widehat{MAC}=\widehat{ABE}\)
\(\Rightarrow Tg\)ABCE là hthang cân
c) Áp dụng đ/lí Pi-ta-go lần lượt vào các \(\Delta AMC,\Delta BCM;\Delta BDM;\Delta ADM;\Delta BDE\)có:
\(AM^2=AC^2-CM^2\)(1)
\(MB^2=BC^2-CM^2\)(2)
\(MC^2=BC^2-BM^2\)(3)
\(MD^2=BD^2-BM^2\)(4)
\(DE^2=BD^2+BE^2\)(5)
Công từng vế của (1)(2)(3)(4) ta đc đẳng thức:
\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AC^2-CM^2+BC^2-CM^2+BC^2-BM^2+BD^2-BM^2\)
\(=AC^2+2BC^2-2CM^2-BM^2+BD^2-BM^2\)
\(=AC^2+2BM^2-BM^2+BD^2-BM^2\)(vì \(BM^2=BC^2-CM^2\))
\(=AC^2+BD^2\)
\(=BE^2+BD^2\)(vì AC=BE do ABCE là hthang cân)
\(=DE^2\)(c/m (5))
Mà DE là đường kính của (O) nên DE=2R\(\Rightarrow DE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
Vậy \(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2\)có g/trị ko đổi khi M thay đổi trong (O)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Dựng ra ngoài tam giác ABC vuông cân tại B điểm P sao cho t/g PBM vuông cân tại B
=> góc PBM = góc ABC => góc PBC = góc MBA
=> Mà BA= BC. BP = BM => t/g PBC = t/g MBA
=> 2MB^2 = PM^2 => 2MB^2 + MC^2 = PC^2 = MA^2