Question

[Ngô thừa ân]

cho hình thang cân abcd (góc d = góc c ) . gọi s là giao điểm của hai đường thằng ad và bc , giao điểm của hai đường chéo là o và m lần lượt là trung điểm của hai đáy ab và cd

cmr:bốn điểm s,m,n,o thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: \(\widehat{SAB}=\widehat{SDC}\)

\(\widehat{SBA}=\widehat{SCD}\)

mà \(\widehat{SDC}=\widehat{SCD}\)

nên \(\widehat{SAB}=\widehat{SBA}\)

=>ΔSAB cân tại S

=>SA=SB

=>S nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: SA+AD=SD

SB+BC=SC

mà SA=SB

và AD=BC

nên SD=SC

hay S nằm trên đường trung trực của CD(4)

Ta có: MA=MB

nên M nằm trên đường trung trực của AB(2)

Xét ΔABD và ΔBAC có 

BA chung

BD=AC

AD=BC

Do đó: ΔABD=ΔBAC

Suy ra: \(\widehat{OBA}=\widehat{OAB}\)

=>ΔOAB cân tại O

=>OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra S,M,O thẳng hàng

Ta có: AO+OC=AC

BO+OD=BD

mà AC=BD

và AO=BO

nên OC=OD

hay O nằm trên đường trung trực của CD(5)

Ta có: ND=NC

nên N nằm trên đường trung trực của CD(6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra S,O,N thẳng hàng

mà S,M,O thẳng hàng

nên S,M,O,N thẳng hàng