Question

[changchan]

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD; AB<CD) . Đường cao AH ; BK.
M là trung điểm của CD .
a) CMR: M là trung điểm của HK.
b) BH cắt AM tại G. CMR : G là trọng tâm của tam giác ACD 

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

\(\widehat{D}=\widehat{C}\)

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

Suy ra: HD=KC

Ta có: HD+HM=DM

KC+KM=CM

mà DM=CM

và HD=KC

nên MH=MK

hay M là trung điểm của HK

Answer 2

[Nguyễn Hoàng Minh]

\(a,\left\{{}\begin{matrix}AD=BC\left(t/c.hthang.cân\right)\\\widehat{AHD}=\widehat{BKC}\left(=90^0\right)\\\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\left(2.góc.ở.đáy\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AHD=\Delta BKC\left(ch-gn\right)\\ \Rightarrow DH=CK\\ \Rightarrow DM-DH=CM-CK\left(M.là.trung.điểm.CD\right)\\ \Rightarrow MH=MK\RightarrowĐpcm\)

\(b,\) Gọi E là giao điểm AK và BH

Dễ thấy ABKH là hcn \(\left(AH//BK;AH=BK;\widehat{AHK}=90^0\right)\)

Do đó E là trung điểm AK và BH

\(\Delta AHK\) có \(HM=KM;AE=EK;AM\cap HE=G\) nên G là trọng tâm tam giác AHK

Do đó \(AG=\dfrac{2}{3}AM\)

\(\Delta ACD\) có \(DM=MC;AG=\dfrac{2}{3}AM\) nên G là trọng tâm tam giác ACD