Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, xét tam giác ODC có : AB // DC
=> OA/OC = OB/OD = AB/DC (đl)
có : AB = 4; DC = 9 (gt)
=> OA/OC = OB/OD = 4/9
B, xét tam giác ABD có : EO // AB (gt) => EO/AB = DO/DB (hệ quả) (1)
xét tam giác ABC có FO // AB (gt) => OF/AB = CO/CA (hệ quả) (2)
xét tam giác ODC có AB // DC (gt) => DO/DB = CO/CA (hệ quả) (3)
(1)(2)(3) => OE/AB = OF/AB
=> OE = OF
xét tam giác ABD có : EO // AB(Gt) => EO/AB = DE/AD (hệ quả) (4)
xét tam giác ADC có EO // DC (gt) => OE/DC = EA/AD (hệ quả) (5)
(4)(5) => EO/AB + EO/DC = DE/AD + AE/AD
=> EO(1/AB + 1/DC) = 1 (*)
xét tam giác ACB có FO // AB (gt) => OF/AB = FC/BC (hệ quả) (6)
xét tam giác BDC có OF // DC (gt) => OF/DC = BF/BC (hệ quả) (7)
(6)(7) => OF/AB + OF/DC = FC/BC + BF/BC
=> OF(1/AB + 1/DC) = 1 (**)
(*)(**) => OF(1/AB + 1/DC) + OE(1/AB + 1/DC) = 1 + 1
=> (OE + OF)(1/AB + 1/DC) = 2
=> EF(1/AB + 1/DC) = 2
=> 1/AB + 1/DC = 2/EF
Xét ΔADC có OM//DC
nên \(\dfrac{OM}{DC}=\dfrac{AM}{AD}\left(1\right)\)
Xét ΔBDC có ON//DC
nên \(\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BN}{BC}\left(2\right)\)
Xét hình thang ABCD có MN//AB//CD
nên \(\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{BN}{NC}\)
=>\(\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{CN}{BN}\)
=>\(\dfrac{MD+MA}{MA}=\dfrac{CN+BN}{BN}\)
=>\(\dfrac{AD}{AM}=\dfrac{BC}{BN}\)
=>\(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{BN}{BC}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra OM=ON
Xét ΔOAB và ΔOCD có
\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)
\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)
Do đó: ΔOAB đồng dạng với ΔOCD
=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)
=>\(\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB}\)
=>\(\dfrac{OC}{OA}+1=\dfrac{OD}{OB}+1\)
=>\(\dfrac{OC+OA}{OA}=\dfrac{OD+OB}{OB}\)
=>\(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)
=>\(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{BO}{BD}\)(1)
Xét ΔADC có OE//DC
nên \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\left(2\right)\)
Xét ΔBDC có OH//DC
nên \(\dfrac{OH}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{OH}{DC}\)
=>OE=OH
Xét ΔADC có OE//DC
nên \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{AE}{AD}\left(1\right)\)
Xét ΔBDC có OH//DC
nên \(\dfrac{OH}{DC}=\dfrac{BH}{BC}\left(2\right)\)
Xét hình thang ABCD có EH//AB//CD
nên \(\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BH}{HC}\)
=>\(\dfrac{ED}{AE}=\dfrac{CH}{HB}\)
=>\(\dfrac{ED+AE}{AE}=\dfrac{CH+HB}{HB}\)
=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{CB}{HB}\)
=>\(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{BH}{BC}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{OH}{DC}\)
=>OE=OH
Ta có \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2}(\mathrm{AC} - \mathrm{BD}) \) và \( \mathrm{OH} = \frac{1}{2}(\mathrm{AC} - \mathrm{BD}) \).
Vì \( \mathrm{AB} / / \mathrm{CD} \), nên các tam giác \( \mathrm{ABE} \) và \( \mathrm{CDH} \) đồng dạng.
Do đó, \( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AD}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).
Tương tự, \( \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BA}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).
Tổng hai phương trình trên ta có \( \frac{\mathrm{AE}+\mathrm{BE}}{\mathrm{AD}+\mathrm{BA}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).
Nhưng \( \mathrm{AD}+\mathrm{BA} = \mathrm{AD}+\mathrm{BC} = \mathrm{AC} \) và \( \mathrm{AE}+\mathrm{BE} = \mathrm{AE}+\mathrm{AD} = \mathrm{DE} \).
Vậy \( \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \) hoặc \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{CH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{CD}} \).
Lưu ý rằng \( \mathrm{CH} \) là độ dài đoạn thẳng vuông góc từ \( \mathrm{C} \) đến \( \mathrm{AB} \), nên \( \mathrm{CH} = \frac{\mathrm{CD} \cdot \mathrm{BH}}{\mathrm{BC}} \).
Do đó, \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{CD} \cdot \mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD}} \).
Hóa giản và ta có \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} \).
Xét tam giác \( \mathrm{BHE} \), ta thấy \( \mathrm{OE} \) là đoạn trung bình của \( \mathrm{BH} \), nên \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2}\mathrm{BH} \).
Tổng kết lại, \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} = \frac{\mathrm{DE}}{2} = \mathrm{OH} \).
Vậy, chúng ta đã chứng minh được \( \mathrm{OE} = \mathrm{OH} \).
a, xét tam giác ABD có : EO // AB (Gt)
=> EO/AB = DO/DB (hệ quả) (1)
xét tam giác ABC có : OF // AB (gt)
=> OF/AB = OC/CA (hệ quả) (2)
xét tam giác ODC có : AB // DC (gt)
=> DO/DB = OC/CA (hệ quả) (3)
(1)(2)(3) => OE = OF
b, xét tam giác ABD có EO // AB (gt)
=> EO/AB = DE/AD (hệ quả) (4)
xét tam giác ACD có : EO // DC
=> EO/DC = EA/AD (hệ quả) (5)
(4)(5) => EO/AB + EO/DC = DE/AD + EA/AD
=> EO(1/AB + 1/BC) = AD/AD = 1 (*)
xét tam giác ACB có : FO // AB
=> OF/AB = FC/BC (hệ quả) (6)
xét tam giác BDC có : OF // DC
=> OF/DC = BF/BC (hệ quả) (7)
(6)(7) => OF/AB + OF/DC = FC/BC + BF/BC
=> OF(1/AB + 1/DC) = BC/BC = 1 (**)
(*)(**) => OF(1/AB + 1/CD) + OE(1/AB + 1/DC) = 2
=> (OF + OE)(1/AB + 1/DC) = 2
có OF + OE = EF
=> 1/AB + 1/DC = 2/EF