Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Dựng \(\overrightarrow{DB'}=\overrightarrow{CB}\)
\(k\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\)
\(=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'D}+\overrightarrow{DA}\)
\(=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'A}\)
\(=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow k=4\)
Gọi M là trung điểm IB
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}\right|=\left|2\overrightarrow{AM}\right|=2AM\)
Ta có \(\overrightarrow{AM}^2=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2=MI^2+IA^2-2MI.IA.cos90^o=\dfrac{1}{16}a^2+\dfrac{3}{4}a^2=\dfrac{13}{16}a^2\)
\(\Rightarrow AM=\dfrac{\sqrt{13}}{4}a\Rightarrow\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}\right|=\dfrac{\sqrt{13}}{2}a\)
Dễ thấy:
\(AD = BC\) nhưng \(AD\) và \(BC\) không song song với nhau. Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) không bằng nhau.
\(CD > AB\) do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) không bằng nhau.
\(AC\) và \(BD\) không song song với nhau. Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \) không bằng nhau.
a) Ta có: \(AB = CD \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\)
\(AB//CD\) và \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {DC} \) có hướng từ trái sang phải
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng
b) Ta có: \(AD = CB \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\)
\(AD//CB\) và \(\overrightarrow {AD} \)có hướng từ trên xuống dưới, \(\overrightarrow {CB} \) có hướng từ dưới lên trên. Suy ra \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {CB} \) ngược hướng
a) Chữa đề: \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{NM}\)
\(Ta\text{ }có:\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\\ =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}+\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}\)
\(\)\(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}\\ =2\overrightarrow{CM}+2\overrightarrow{NC}=2\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM}\right)=2\overrightarrow{NM}\)
Vậy \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{NM}\)
\(\text{b) }\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=-\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\\ =-\left[\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\right]\\ =-\left(2\overrightarrow{DM}+2\overrightarrow{CM}\right)=2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC}\right)=4\left(\overrightarrow{MN}\right)\)
\(\text{c) }2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{DA}\right)\\ =2\left[\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}\right)+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}\right)\right]\\ =2\left[\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{NI}\right]=2\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{NI}\right)\)
Mà IN là dường trung bình \(\Delta BCD\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IN//BD\\IN=\frac{1}{2}BD\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{IN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\\ \Rightarrow2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{DA}\right)\\ =2\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{NI}\right)=2\left(\overrightarrow{DB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}\right)=2\cdot\frac{3}{2}\overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DB}\)
Do các vectơ đều nằm trên đường thẳng AB nên các vectơ này đều cùng phương với nhau.
Dễ thấy:
Các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng (từ trái sang phải.)
Các vectơ \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) cùng hướng (từ phải sang trái.)
Do đó, các cặp vectơ cùng hướng là:
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CA} \); \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CB} \);\(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CB} \).
Các cặp vectơ ngược hướng là:
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BA} \); \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CA} \); \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \);
\(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BA} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CA} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CB} \);
\(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BA} \); \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CA} \); \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CB} \);
Giá của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là đường thẳng AB.
Các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là: \(\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {DC} \)
a) vectơ \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
b) vectơ \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
Tham khảo:
\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \) do hai vectơ \(\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {BA} \) cùng hướng và \(CD = BA\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA\end{array}\)
Xét tam giác ABC, ta có:
\(BA = BC\) và \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\widehat {BAD} = {60^o}\)
\( \Rightarrow \Delta ABC\) đều, hay \(CA = BC = 1\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = 1.\)
Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {BA} \\ = \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} .\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 1.\end{array}\)
a) ABCD là hình thang nên AB//CD
Các vectơ cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là các vectơ có hướng từ trái qua phải nên đó là: \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {DM} ,\overrightarrow {MC} \)
b) \(\overrightarrow {DM} \)có hướng từ trái sang phải nên các vectơ ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow {DM} \)là \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CD} \)
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow a = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DC} \)
Mà ABCD là hình thang nên AB//DC. Mặt khác vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \) đều có hướng từ trái sang phải, suy ra vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {DC} \)cùng hướng
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.