Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tọa độ E là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}y-2=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E\left(-\dfrac{1}{2};2\right)\)
\(S_{CDE}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}=9\Rightarrow S_{ABCD}=18\)
\(\Rightarrow S_{ADE}=\dfrac{1}{2}AD.AE=\dfrac{1}{8}AD.AB=\dfrac{1}{8}S_{ABCD}=\dfrac{9}{4}\Rightarrow AD.AE=\dfrac{9}{2}\)
Gọi \(A\left(a;2\right)\) và \(D\left(d;2d+3\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{EA}=\left(a+\dfrac{1}{2};0\right)\\\overrightarrow{AD}=\left(d-a;2d+1\right)\end{matrix}\right.\)
\(AB\perp AD\Rightarrow\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{AD}=0\Rightarrow\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\left(d-a\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\\a=d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=\left|d+\dfrac{1}{2}\right|\\AD=\left|2d+1\right|\end{matrix}\right.\)
\(AE.AD=\left|\left(d+\dfrac{1}{2}\right)\left(2d+1\right)\right|=\dfrac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2d+1\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\left(loại\right)\\d=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(-2;2\right)\\D\left(-2;-1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AE}\Rightarrow\)tọa độ B
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow\) tọa độ C
Ta có \(\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^0\) nên 4 điểm A, H, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Ta có \(\widehat{HIE}=2\widehat{HAE}=2\left(180^0-\widehat{BCD}\right)\)
Các tứ giác AKED, AKHB nội tiếp nên \(\widehat{EKD}=\widehat{EAD}\) và \(\widehat{BKH}=\widehat{BAH}\)
Do đó \(\widehat{HKE}=180^0-\widehat{AKD}-\overrightarrow{BKH}=180^0-\overrightarrow{EAD}-\overrightarrow{BAH}=2\overrightarrow{HAE}=2\left(180^0-\overrightarrow{BCD}\right)=\overrightarrow{HIE}\)
Vậy tứ giác HKIE nội tiếp. Do đó I thuộc đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác HKE
- Gọi \(C\left(c;c-3\right)\in d\left(c>0\right)\Rightarrow I\left(\frac{c-2}{2};\frac{c-4}{2}\right)\)
Do I thuộc (C) nên có phương trình :
\(c^2-c-2=0\Leftrightarrow c=2\) V c=-1 (loại c=-1) Suy ra \(C\left(2;-1\right);I\left(0;-1\right)\)
- Điểm E, H nằm trên đường tròn đường kính AC và đường tròn (C) nên tọa độ thỏa mãn hệ phương trình :
\(\begin{cases}x^2+y^2+x+4y+3=0\\x^2+\left(y+1\right)^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0;y=-3\\x=-\frac{8}{5};y=-\frac{11}{2}\end{cases}\)
- Vì H có hoành độ âm nên \(H\left(-\frac{8}{5};-\frac{11}{5}\right);E\left(0;-3\right)\) Suy ra \(AB:x-y+1=0;BC:x-3y-5=0\)
Tọa độ B thỏa mãn \(\begin{cases}x-y+1=0\\x-3y-5=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow B\left(-4;-3\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(6;2\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=16>0\)
Vì \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow D\left(4;1\right)\)
Vậy \(B\left(-4;-3\right);C\left(2;-1\right);D\left(4;1\right)\)