Question

[Phạm Anh Thư]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật.H là hình chiếu của S lên (ABCD), H là trung điểm cạnh AB. Biết AB=2a, BC=a,SA=a căn 2. Tính ((SBC),(SCD))=?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi M là trung điểm CD

Từ H lần lượt kẻ \(HE\perp SB\) và \(HF\perp SM\)

HM song song AD \(\Rightarrow CD\perp HM\Rightarrow CD\perp\left(SHM\right)\Rightarrow HF\perp\left(SCD\right)\)

\(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp HE\Rightarrow HE\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc nhọn giữa HE và HF là góc giữa (SBC) và (SCD)

\(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=a\) \(\Rightarrow\Delta SBH\) vuông cân \(\Rightarrow SE=HE=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(HM=BC=a\Rightarrow\Delta SHM\) vuông cân \(\Rightarrow SF=HF=\dfrac{SM}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{SF}{SM}=\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác SBM 

\(\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+a^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow HE=HF=EF\Rightarrow\Delta HEF\) đều

\(\Rightarrow\widehat{EHF}=60^0\) hay góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 60 độ

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Cách 2:

Ta có \(SH=\sqrt{SA^2-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}=a\)

Gọi M là trung điểm CD

Đặt hệ trục Oxyz vào chóp với O trùng H, tia Ox trùng tia HB, tia Oy trùng tia HM, tia Oz trùng tia HS

Quy ước a là 1 đơn vị độ dài \(\Rightarrow\) ta có các tọa độ:

\(S\left(0;0;1\right)\) ; \(B\left(1;0;0\right)\) ; \(C\left(1;1;0\right)\) ;  \(D\left(-1;1;0\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{SB}=\left(1;0;-1\right)\) ; \(\overrightarrow{SC}=\left(1;1;-1\right)\) ; \(\overrightarrow{SD}=\left(-1;1;-1\right)\)

\(\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SC}\right]=\left(1;0;1\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{n_{\left(SBC\right)}}=\left(1;0;1\right)\) là 1 vtpt của (SBC)

\(\left[\overrightarrow{SC};\overrightarrow{SD}\right]=\left(0;2;2\right)=2\left(0;1;1\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{\left(SCD\right)}}=\left(0;1;1\right)\) là 1 vtpt của (SCD)

\(\Rightarrow cos\left[\left(SBC\right);\left(SCD\right)\right]=\dfrac{1.0+0.1+1.1}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}.\sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\left(SBC\right);\left(SCD\right)\right)=60^0\)