Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
câu a) sáng giải
b) \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{4^2}{2}=8>4\) vô nghiệm
a) ĐK: \(x,y\ne-1\)
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+x+y=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(1\right)\\\left(\frac{x}{y+1}\right)^2+\left(\frac{y}{x+1}\right)^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2+x}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y^2+y}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=1\) (3)
(2) \(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\right)^2-\frac{2xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow\)\(2xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
Lại có: \(\left(\frac{x}{y+1}\right)^2+\left(\frac{y}{x+1}\right)^2\ge2\sqrt{\left(\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\right)^2}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{y+1}=\frac{y}{x+1}\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{2x}{y+1}=1\\2\left(\frac{x}{y+1}\right)^2=1\end{cases}\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y+1}\right)^2-\frac{x}{y+1}=0\Leftrightarrow\frac{x}{y+1}\left(\frac{x}{y+1}-1\right)=0}\)
\(\Rightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}\frac{x}{y+1}=0\\\frac{x}{y+1}-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0;y=1\\x=y+1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y+1}\)
Thay x=y+1 vào (3) ta được: \(\frac{y}{x+1}=0\)\(\Leftrightarrow\)\(y=0\)\(\Rightarrow\)\(x=1\) ( tương tự với y ta cũng được x=0;y=1 )
tập nghiệm của pt \(\left(x,y\right)=\left\{\left(0;1\right),\left(1;0\right)\right\}\)
b) ĐK: \(x,y\ne0\) còn cách khác là dùng cosi nhé, VD: \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=4\left(1\right)\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2=4\left(2\right)\end{cases}}\)
lấy (1) + (2) và cộng 2 vào 2 vế của pt mới ta được:
\(10=a^2+1+b^2+1+\left(a+b\right)\ge2\sqrt{a^2}+2\sqrt{a^2}+4=12\)
\(\Rightarrow\)\(10\ge12\) (vô lí) => hpt vô nghiệm
Gọi 3 phương trình đó theo thứ tự là (1); (2); (3)
Lấy (1) - (2) ta được
x2 - z2 - 2x + 2z = 0
<=> (x - z)(x + z - 2) = 0
Làm tiếp sẽ ra
Em mới học lớp 7 nên không biết làm đúng không nữa
Ta có hệ phương trình:
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2-2\left(x+y\right)=0\\y^2+z^2-2\left(y+z\right)=0\\x^2+z^2-2\left(x+z\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2\left(x+y\right)=2x+2y\\y^2+z^2=2\left(y+z\right)=2y+2z\\x^2+z^2=2\left(x+z\right)=2x+2z\end{cases}}}\)(1)
Mà \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge0\\y^2+z^2\ge0\\x^2+z^2\ge0\end{cases}}\)Do đó \(\hept{\begin{cases}2x+2y\ge0\\2y+2z\ge0\\2x+2z\ge0\end{cases}}\)Suy ra \(x,y,z\ge0\)(2)
Từ (1) và (2):
\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\\z=0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=2\\z=2\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2+y^2=25\\\left(x+y\right)^2+x^2=26\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-2xy+y^2+y^2=25\\x^2+2xy+y^2+x^2=26\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x^2+3y^2=1\\\left(x-y\right)^2+x=26\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=\frac{1}{3}\\\left(x-y\right)^2+x=26\end{cases}}\)
2x^2=(x+y)(2-xy)
2x^2=(x+y)(x^2+y^2-xy)
2x^2=x^3+y^3
2=x^2+y^2
suy ra (x^3+y^3)-(x^2+y^2)=2x^2-2
x^3+y^3-x^2-y^2=2(x^2-1)
x^2(x-1)+y^2(y-1)=2(x-1)(x+1)
x^2(x-1)+y^2(y-1)=(x-1)(2x+2)
x^2(x-1)-(x-1)(2x+2)+y^2(y-1)=0
(x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0
Xét TH1 1<=x<=căn bậc 2
từ x^2+y^2=2 suy ra 0<=y<=1
y<=1 suy ra y-1<=0 => y^2(y-1)<=0 (1)
x>=1 => x-1>=0
1<=x<= căn bậc 2 => -3<=x^2-2x-2<=-2 căn bậc 2
=> (x-1)(x^2-2x-2)<=0 (2)
từ (1) và (2) =>(x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0 khi và chỉ khi x=y=1
Xét TH2 1<=y<= căn bậc 2
từ x^2+y^2=2 suy ra 0<=x<=1
y>=1 =>y-1>=0 =>y^2(y-1)>=0(3)
x<=1 => x-1<=0
0<=x<=1 => -2<=x^2-2x-2<=-3
suy ra (x-1)(x^2-2x-2)>=0(4)
từ (3) và (4) => (x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0 khi và chỉ khi x=y=1
vậy cặp số (x,y) duy nhất thỏa mãn đề bài là (1,1)
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2\\2x^2=\left(x+y\right)\left(2-xy\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2\\2x^2=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\sqrt{2-x^2}\\2x^2=x^3+y^3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\sqrt{2-x^2}\left(1\right)\\2x^2-x^3=\sqrt{\left(2-x^3\right)}\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(2x^2-x^3\right)^2=\left(2-x^2\right)^3\)
\(\Leftrightarrow2x^6-4x^5-2x^4+12x^2-8=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)\left(x^5-x^4-2x^3-2x^2+4x+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^5-x^4-2x^3-2x^2+4x+4=0\end{cases}}\)
Làm tiếp nhé
Hệ tương đương với: \(\hept{\begin{cases}xy+x+y=7\\x^2+y^2+x+y+xy=7\end{cases}}\)
Đặt \(x+y=a;xy=b\)ta có: \(x^2+y^2=a^2-2b\)
Thay vào hệ ta có:
\(\hept{\begin{cases}b+a=7\\a^2-b+a=17\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a^2+2a+1=25\Rightarrow a+1^2=25\)
Đến đây tìm a,b sau đó ta tìm được:
(x,y)=(1,3);(3,1)
=> \(\hept{\begin{cases}x^2+2xy+y^2-4x+4y=12\\x^2-2xy+y^2-2x-2y=3\end{cases}}\)
Rồi đến đây tự làm nhé
HPT <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)+4=16\\\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)+1=4\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+y-2\right)^2=4^2\\\left(x-y-1\right)^2=2^2\end{cases}}\)
=> \(\hept{\begin{cases}x+y-2=\pm4\\x-y-1=\pm2\end{cases}}\)
Có các TH:
1/ \(\hept{\begin{cases}x+y-2=4\\x-y-1=2\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\x-y=3\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{2}\\y=\frac{3}{2}\end{cases}}\)
2/ \(\hept{\begin{cases}x+y-2=4\\x-y-1=-2\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\x-y=-1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\y=\frac{7}{2}\end{cases}}\)
3/ \(\hept{\begin{cases}x+y-2=-4\\x-y-1=2\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x+y=-2\\x-y=3\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-\frac{5}{2}\end{cases}}\)
4/ \(\hept{\begin{cases}x+y-2=-4\\x-y-1=-2\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x+y=-2\\x-y=-1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)